读了张江敏老师讨论函数回归的文章《最长的时间》，觉得很有意思，就做了些思考和检验。
问题是：令f(t)=cost+cos2–√t+cos3–√t+cos5–√t，求t使得4−f(t)<>
他给出的答案是：t1=10458943416×2π≈2π×1.046×1010，则4−f(t1)<><>
4−f(t1)≈4×10−74−f(t2)≈4×10−17为什么我要费劲算这个东西呢？因为我对t的数量级做了一个估计，发现它符合t1，但是与t2相差了六七个数量级。我是这么估计的：1、t取2π的整数倍，这没有什么好说的。
2、为了cos2–√t达到10−n的精度，需要2–√t mod(2π)=x∼10−n/2（泰勒公式展开到x2项），因为2–√没有什么明显的规律，就可以这样假设，如果t是整点，那么2–√t处于整点附近的几率为x/π。
3、同理，3–√t和5–√t处于整点附近的几率也是为x/π。
4、这三个应该是彼此独立、没有关联的。
5、这样就可以推算出t∼1/(x/π)3∼30×103n/2。
6、为了达到10−6的精度，t≈3×1010，与t1相仿；为了达到10−20的精度，t≈3×1031，比t2=1.797×1025大了6个数量级。
7、对于t=1.797×1025，应该能够达到的精度大约是10−16，符合计算器给出的结果。
8、我不知道产生差异的原因。也许是这个估计有问题；也许是笔误；也许是windows的科学计算器有问题；也许是mathematica或maple的算法有问题。我不知道原因。
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