怀着与同行和前辈交流的心情，我想在这里介绍一下本人在Blasius方程求解上面的一个工作，最近发表在AIP Advances上。虽然该期刊不是最顶尖的流体力学期刊，但算是国际上物理学领域比较正规的SCI期刊了。希望自己的工作能得到大家的认同，欢迎在课堂或教材中介绍或引用该文章的相关结果。
关于无限长平板层流边界层，Blasius(布拉休斯)在1908年提出了相似性解的求解方法，并且得到了经典的Blasius方程的边值问题。该方程虽然形式上极其简单，但是非线性却很强，而且方程的定义域是无限大的。
Blasius对该方程采用了幂级数的解法，并且给出了该方程解析解的一个幂级数形式。但是很遗憾，这个解无法在无限远处被边界条件所封闭，因此该解虽然在形式上满足微分方程，但是却不能严格满足边界条件，所以本质上还是一个近似解。另一个遗憾是，这个幂级数解的收敛区间很小。这也是为什么从1908年以来，大多数流体力学教材或专著中很少引用该解的原因。当然，从实用层次上而言，该解在很大的速度范围内是准确的，然而这恰恰也是令人感到遗憾的地方。
为了在更大定义域范围内对Blasius方程进行考察，数值求解方法开始被采用。比较著名的一个求解结果是来自于1938年L. Howarth的工作。但是数值求解方法有一个很大的缺陷，那就是进行定义域的人为截断。也就是说将无限远处的边界条件改换为一个在足够远处的边界条件，从而将无限大定义域内的问题转变为一个有限大定义域内的问题。显而易见，这种替换产生的影响也会造成无限远处解的信息的流失。
正因为求解这个方程是如此地困难，大量的数学家、物理学家或流体力学工作者开始寻找近似的解析求解方法。也就是寻找在整个无限大定义域上满足边界条件，但是近似满足微分方程的近似解，这种努力一直持续到现在。每当有新的近似解析方法的提出，大都会被尝试用于求解Blasius方程，最主要的是摄动法。由于该方程非线性太强，所以正则摄动法的效果并不好。因此为了改善摄动法的求解效果，针对该方程本身提出了很多有意义的改进思路。特别是上海交通大学廖世俊教授提出了同伦摄动的方法之后，国际上大量的同伦摄动的工作开始应用于Blasius方程的近似求解，以表明新方法的有效性。虽然新方法的有效性得到了证明，但是完全封闭的解析解的真面目却依然扑朔迷离。
很有意思的是，在调研文献的过程中，我们也发现大数学家外尔(H. Weyl) 在1942年也对Blasius方程这类问题进行过考察，并且应该是最早构造了逼近于方程解的某个函数序列。纯数学的研究，由于会用到很多数学技巧或数学知识，对于非数学专业的大多数人并不容易。但是在其论文中，也并没有提出形式上完全满足的解析解。
意大利科学家Crocco可能是最早对Blasius方程进行降阶求解的人，因此提出了一个Crocco变换。
Crocco变换很少在一般的流体力学教材中提及，所以不是专业从事流体力学或专门从事边界层理论研究的人，可能都很少了解到有这个变换的存在。非常惭愧的是，本人之前也并不了解存在这个变换，直到写论文调研文献时才发现原来1942年左右时，Crocco已经发现这个变换。
Crocco变换的本质是利用粘性力作为未知函数，流体的速度作为自变量，从而可以将Blasius方程从3阶降到2阶。降阶后的方程依然是非线性的，但是定义域却已经从无限大变换到有限大。即便如此，其求解也是极其困难，迄今也尚未发现对降阶后的方程给出过完全的解析解。
由于Blasius方程这个问题过于经典，时间已经接近120年，而且又由于大量的近似结果与实验测量结果已经得到了吻合。所以从物理层次上而言，Blasius方程所揭示的层流边界层的主要内容已经比较清晰。因此大多数的流体工作者已不再关注该方程的求解而是选择流体中其它相关的问题进行研究。
在学习和教学过程中，每当讲到Blasius方程这一章节时，我们常常都会告诉学生，这个方程没有解析解或者尚未找到解析解。但是这个方程形式上又是这么简单，所以这促使我怀着玩一玩的心态去求解这个问题。在对其他科学家的已有工作一无所知的情况下，我并没有任何希望认为自己能对这个问题获得什么有价值的结果。所以在2015年下学期，在备课的阶段，怀着有趣的心态去对这个方程进行不同方法的变换。最自然的思想是能想到能把它降阶，但是我之前并不知道有Crocco变换的存在。所以在最初的一个月，毫无所得。于是开始进行微分变换的尝试，引入一些新的变量，所以大概在第三个月时，找到了一个变换方法----但是后来在文献调研时，才发现这个变换方法其实和Crocco变换是异曲同工的，只是两者的系数不同。所以当我看到Crocco变换时，感觉还有点失落，觉得自己的工作突然变得毫无价值。于是就打算随便写点东西，算是凑个文章数，投给一个会议。文章中只说自己找到了一个方法对Blasius方程能进行降阶，而且也初步提出了幂级数解析求解的思路，并给出了一个2阶近似解。想不到摘要被录用后，经过将近十个月，接近在2016年年底了，在会议开始前，组委会剔除了我这篇文章；那时候感觉很糗----因为一般很少文章会被会议所拒绝，主要还是因为Blasius这个问题实在太经典了，没什么新的结果。
在这之前，我以为这个幂级数解中的系数是不可求的。但是经过一个多月后，再去看这个解，发现可以通过很简单的运算就能把系数全求出来。可是求出来之后，又能怎样呢?毕竟完全封闭的解析解也只是揭示速度分布而已，而这之前，数值方法、实验、近似解析法都能给出来。在朋友的建议下，我决定看看完全解析解能不能给出一些前人无法得到的东西。于是在2017年初，开始尝试将它应用于边界层厚度表达式的求解以及边界层内速度分布的高阶特征。写完文章后，投给JFM，Phys. Rev. Fluids.
等，基本上初审时编辑都建议改投到数学方面的期刊上。于是我投给了美国数学学会(AMS)
下的期刊，初审时说建议投给专业期刊。于是我又投给国际应用力学，初审时被拒，理由是不合适。百般挫折下，不知如何是好。虽然所获得的这个解析解是参数化的形式，但毕竟是第一个在无限大空间上全局封闭和收敛的解析解，难道就此让它埋没或投给一个不知名的期刊发表了事吗？想想心里还是有点不是那么舒服。
于是考虑将这个解析解用于解决一些当前国际上与层流边界层相关的比较新的问题，从而获得一些数值法和近似解析法无法获得的结果。于是尝试将它应用于等温平板边界层内温度分布的解析表达以及边界层控制方面的工作。意想不到的是，这个解析解，虽然形式上并不完美，但是却能够在这些问题上得到一些前人研究无法实现的工作。这是比较令人欣喜的。于是又考虑进一步修改文章，充实内容，投给了Phys. Fluids (PoF). 经过四十几天的审稿，终于等到了审稿结果。三个审稿人，都是建议修改后可以发表，只要同意他们的修改要求。其中第二个和第三个审稿人的评价都非常高，尤其是第三个审稿人说我的工作是significant contribution (重要贡献)，而第二个审稿人说的是quite interesting (极其有趣)。唯独第一个审稿人采用了一种刁难和居高临下的语气说：只要我把论文中所有关于“封闭解析解”的名词全部删掉，他可以同意在PoF上表。无法想象的是，副主编说考虑到第一个也是最主要的审稿人的比较严格的意见，说我的论文不能在所有的标准上满足PoF的要求，因此不能给我一个好的最终消息。但在信中，他又说，我的论文是Scientifically sound(科学上很不错)，所以他说如果我同意，只要minor revision(简单修改)就可以在AIP Advances上直接发表。看到这个评审决定，个人还是觉得喜忧参半，也有点不服气----毕竟3个审稿人都同意修改后发表，为什么不给个机会呢？查询了一下AIP Advances，发现是AIP（美国物理研究所）开办的OA期刊，是很正规的物理学研究期刊，被SCI索引已经6年。看了这个期刊上不少论文，发现有不少工作也挺新颖，再搜索一下对这个期刊的评价还是不错的。又与同事讨论，觉得尽快发表还是有必要的。于是决定同意在AIP Advances上发表。文章被编辑排版后有几个序号索引上的小错误，不过无伤大雅。这篇论文虽然发表的期刊并不是物理学或流体力学领域顶尖的期刊，但是这篇论文是本人独立开展教学和科研并且独立撰写后在国际主流物理学期刊上发表的第2篇SCI论文，也算是对自己教学和科研能力的一点点肯定吧，希望它能起到抛砖引玉的效果。
在论文中本人提出了Blasius方程在整个定义域上封闭的解析解，但是这个解需要用两个表达式来表达，即未知函数和自变量的函数关系是参数化的形式。所以这个解的形式和习惯上认为的解析解有点出入。习惯上认为一个解析解中，未知函数和自变量的函数关系应该由一个表达式建立。但是我们回过头来想一想，其实并不是任何函数都可以用一个表达式来表达的，有很多参数化形式的函数并不能通过消去参变量而改写成一个表达式。所以一个非线性的微分方程，如果不能找到一个表达式来表达的解，我们为什么不退一步选择用几个表达式表达其解呢？期待本文的工作，能给同行带来一定的作用和启发。欢迎批评指正。
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