手工计算时代需要基于数据精度考虑具体的计算方式，放大、缩小和求平均，就是技巧之一。
(1) Basel问题
自然数平方的倒数之和是收敛的，欧拉得到其极限为π2/6
张江敏. 疯狂的绝技——级数加速收敛的艺术http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-1075769.html
级数平方衰减，截断到前n项的和Tn，则误差在1/n量级。不过，若想结果精确到小数点后三位，并不需要计算到1000项——对没有计算的余项可进行估算呢。
若圆周率误差为δ，则(π+δ)2/6=π2/6+πδ/3+δ2/6，因而级数的误差和与π的误差δ相当。
由前10项的和T10确定的π 为3.049362，修正1/(10+1) 之后，则π 为3.137525；
修正1/2(10+1)^2=0.004132后, 得到π=3.141473
与真值3.141593，仅相差 0.000120。
(2) 割圆术
半径为1的圆，内接正6边形边长b6= 1，
n边形边长bn，b2n= sqrt(2 –sqrt(4 – bn2 ))；
n=6×2^k边形边长Ak = sqrt(2 – Bk), 式中
Bk =sqrt(2+sqrt(2+…+ sqrt(2+sqrt3) …)), k–1次开方
正2n边形面积S2n= nbn/2，极限是圆周率π。
这就是魏人刘徽公元263年创立的割圆术，其以6 × 2^4= 96边形的边长确定圆周率3.14。
通常认为，南朝祖冲之(429~500年)得到圆内接6× 2^11= 12288边形的边长，确定圆周率精确至小数点后7位。这是非常困难的：为了保证π的精度，B11=1.9999……需要16~17位有效数字。祖冲之所著《缀术》失传，具体计算方法难以知道；但他肯定知道有效数字随着边数的增加不断减少，进而研究提高精度的途径。
刘徽割圆4次至96边形的结果可以写为
S192= S12+(S24–S12) +(S48–S24) +(S96–S48) +(S192–S96)
S12=3；而第一次割圆增加量即S24–S12 =0.1058285412；第二次增加量减少，只是第一次的0.253240倍，第三次、四次增加量是其前次增加量的0.250805和0.250201倍。
割圆引起的面积增加比值D逐次减小而趋于 0.25即1/4。继续割圆的面积增加，若以 1/4 的比例计算，即弓形面积为(S192–S96)/3是缩小的估算；而以D96的比例计算，即弓形面积为(S192–S96)* D96/(1–D96)是放大的估算。于是有3.1415925396估计D192 =0.250050 进而计算(S384–S192)，即可得到祖率而不必具体计算192边形的边长。
(3) 此情可待成追忆
1994年初搬入两室一厅的新居，有了独立的书房。过年无处可去而翻看旧书，觉得祖冲之似乎不会割圆11次计算圆周率；于是，用十位数字的计算器Casio fx-4500p略作演算，写出“割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测”。敝帚自珍，多次投稿后发表于《安阳师范学院学报》的2003年第2期；也曾在博客介绍http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-776036.html。
书上铅笔所写的结果已经不清楚啦。24年也就要过去了。
照片中小册子“夏道行. π和e”1964年第1版，但是1978年重印的，3万6千字，定价 0.15元；“张弛.不等式”，5万8千字，定价 0.22元。也就是二、三两猪肉的钱——其时含骨统肉一斤 0.73元。
1978年暑假后坐船6小时到县城上高中，自己手中也就有了一点零花钱，时常去学校对门的新华书店看看，偶尔也买本书。我觉得读书比做题要好，只是那时候书籍很少啊。
最后给出当年发现的一个结果，只要记得 sqrt(5)=2.236 就行啊。
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