求方根----从方法到公式
求方根是人类最早使用的计算，在有了加减乘除以后，人们就考虑同一数相乘n次的逆运算了。目前在教科书中开方方法还是利用牛顿二项式定理，这种方法需要不断试除，非常麻烦。尽管有了计算机开方，又快又精确，但是，数学家总有心不甘。
下面的公式是利用反馈方法，或者说公式是控制论的方法----反馈计算。下面这个例子被广泛引用在控制论中，成为一个经典的例题。
公式是通过不断迭代越来越精确。
Xr+₁＝Xr＋(A/Xⁿ﹣1－Xr)/n。。。。.(1)
举例：
一，开立方公式：
Xr+₁＝Xr＋(A/X^2r－Xr)/3。。。。(2)
例如，A=5，n=3,即求：
X=3√5
5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X₁可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。
例如我们取X₁=2。
按照公式：
第一步：X₂=2+（5÷2^2－2)÷3=1.75。输入值大于输出值，负反馈；
即5÷（2×2）=1.25，1.25－2=－0.75，－0.75÷3=－0.25，2+(－0.25)=1.75，比前面多取一位数。即取2位数值,即1.7。
第二步：X₃=1.7+（5÷1.7^2－1.7)÷3=1.71.输入值小于输出值，正反馈。
即5÷（1.7×1.7）=1.7301，1.7301－1.7=0.031，0.03÷3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。
第三步：3√5等于1.709.
第四步：3√5等于1.7099。又比前面多一位数。
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
偏小，输出值自动转大。
当然初始值X₁也可以取1.1，1.2，1.3，。。，1.8，1.9中的任何一个,都是X₂=1.7。例如X₁取1.5：
1.5+（5÷1.5^2－1.5）÷3=1.7。
每一步多取一位数。
计算次数与计算精确度成为正比。
这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
二，开平方
如果用这个公式开平方，只需将(2)式的X^2改成X^1，3改成2。即
Xr+₁=Xr+(A/X－-X）/2。。。.(3)
例如，A=5：√5=x
5介于2^2至3^2之间，即4至9之间。
我们取初始值X₁=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取
中间值X₁=2.5。
第一步：X₂=2.5+（5/2.5－2.5)/2=2.2；
即5÷2.5=2，2－2.5=－0.5，－0.5÷2=-0.25，2.5+(－0.25)=2.25，取2位数2.2。
第二步：X₃=2.2+(5/2.2-2.2)/2=2.23；
即5÷2.2=2.272727，2.272727－2.2=0.072727，0.072727÷2=0.036363，2.2+0.036363=2.23。取3位数。
第三步：√5=2.236。
每一步多取一位数。
计算次数与计算精确度成为正比。
这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。
大家知道蝴蝶效应，初始值细微差别可以导致后面的巨大差别。而相反的是反馈调节，较大的差别可以通过不断迭代接近正确。
评论 (0)