这次谈的是插值。
做任何研究工作，总是要抓住主要矛盾。想要研究某种现象，就要先看看它如何随着某个因素变化。这个因素不会是随便瞎蒙的，更可能是根据以前的经验或者初期的观察而猜测的，最常见的因素是时间或者距离。某种现象（用y来衡量其大小、表示其数量）随某个因素（用x来表示）的变化关系就是函数y=f(x)。
我们研究的现象，通常是连续地依赖于其主导因素的。也就是说，诱因的差别越小（x的差别Δx越小），结果的差别也就越小（y的差别Δy越小）。数学分析里碰到的那些怪了吧唧的函数，其实都是用来对付“杠精”的——处处不连续的函数（例如，在有理数上等于1、在无理数上等于0的函数），几乎处处不连续的函数（例如，在有理数p/q上等于1/q、在无理数上等于0的函数），处处连续、但处处不可微的函数（例子就不举了）。“杠精”确实需要对付，但是在开始的时候，我们没必要用主要精力处理这些细枝末节，smilence足矣。
想要了解某件事y，先要在一些位置x处测量y，也就是说，在x1<><><><><>
最简单的猜法是“铁路警察，各管一段”。对于任意的x，看看那个测量位置xi离得最近，就用哪个yi来表示y的数值。这种方法太独裁了，猜出来的函数y就是一系列的台阶、看起来磕磕巴巴的样子。
更好一些的猜法引入了民主。对于任意的x，找到离得最近的两个位置xi<>
更一般性地讨论一下插值问题。我们有了在x1<><><><><>
x=xi的时候，选择y=yi，因为我们不希望白瞎了xi这次测量。为了满足这个要求，考虑一个简单的函数w′(x)=w(x)/(x−xi)，其中，w(x)=(x−x1)(x−x2)⋯(x−xn)。显然，对于不是xi的取值点，w′(x)等于零，采用适当的归一化，就可以用yi(x)=yiw′(x)/w′(xi)来表示插值函数了。对于每一个i，都做这样的处理，就可以得到整个范围内的插值函数y(x)=∑iyi(x)，其中，i是对所有的取样点xi求和。这就是拉格朗日插值法。如果有n+1个取样点，拉格朗日插值函数就是一个n阶多项式。
如果取样的时候，不仅测量了xi处的值yi，还测量了该处的导数值y′i，那么，选择插值函数的时候，就不再是(x−xi)的连乘形式了，而是(x−xi)2的连乘形式。这就是厄密插值法，选取n+1个取样点，厄密插值函数就是一个2n+1阶多项式。
前面说的插值方法是广种薄收（在很多位置上取样，然后再猜），还有一种方法是精耕细作，在一个位置上测量很多数据：不仅有该点的数值，还有该点的一阶导数、二阶导数乃至n阶导数，然后用泰勒公式来推算其余位置的函数值。这种方法在原则上是可行的，但是执行起来可能更难——导数不容易测量，高阶导数就更难了。牛顿提供了一种估计各阶导数的方法，仍然是测量n个取样点的数值，然后用“差商”来近似“微分”，用“高阶差商”来近似“高阶微分”，这就是牛顿插值法。与拉格朗日方法相比，牛顿法还有节省运算次数的优点，具体细节就不展开讨论了。
这些插值方法都很简单，但是，当n很大的时候，就可能出现“过度民主化”的问题。每个取样点上的插值都没问题，但是取样点之间的插值，可能跟实际情况偏离得很大，特别是在取样区间的两头（靠近x1或xn的位置），这就是所谓的龙格现象。原因也很简单。以等间距取样（Δx=δ）的拉格朗日插值法为例，在整个取样区间的中间部分，差别大致是[(n/2)!δn/2]2，而在取样区间的两侧，差别则是n!δn——龙格现象的原因就是[(n/2)!]2≪n!。
所以，采样点不能取得太多。如果真的需要了解很大范围里的变化情况，也应该分而治之，把大范围切割为很多小区间，然后在每个小区间里插值。在相邻的小区间，分段的插值函数要想办法保证连续甚至可微。这就是“分段低次插值法”。
既然已经分段了，那么，在小区间里，最好是怎么方便怎么来了——通常采用“样条函数”。样条函数是分段的多项式，而各段多项式之间具有适当的连接性质，从而保证“样条曲线”不但光滑优美而且转折如意。
关于插值，大概就讲这么多了。需要补充的是，上面这些插值方法都是内插法，需要猜测插值的位置都在取样范围以内。超出取样范围的猜测（外插法），除非离采样区间很近，基本上都不靠谱——只有万不得已的时候才会考虑。
至于说，在确定的采样区间里，如何选择具体的采样点，那就是另外一个故事了——请看下回“计算方法之弱水三千”。
评论 (0)