学习知识不是越多越好, 越深越好, 而是要服从于应用, 要与自己驾驭知识的能力相匹配。
——黄昆刚进入大学的学生，往往不适应大学物理课。原因也很简单，大学生和中学生之间有着高考这条鸿沟。高考是选拔性考试，采用的都是精确可解的题目，中学生当然也就只学这种东西了；大学物理是为了帮助大学生面对真实的世界，那里并没有很多精确可解的问题。
物理不是数学，很多时候并不需要精确解。原因有三个：物理模型是对大自然的近似描述，出发点就已经不精确了，后面再追求精确也没有太多意思；即使物理模型具有精确解，这个精确解可能也并不那么好使；物理模型本身可能就没有精确解（具有解析表达式的解），必须做近似。第一个原因是常识，后面这两个原因，我们举几个例子说明一下。
自由落体运动。不管是比萨斜塔，还是炮弹轨迹，只要不考虑空气阻力，都是这种问题，都可以精确求解。如果考虑空气阻力，很多时候就不再有精确解了，因为空气阻力的形式各种各样，依赖于物体速度等许多因素。对于一些特殊形式的空气阻力，可以精确求解。比如说，阻力依赖于速度v的平方，即v˙=g−αv2其中，v是速度，g是重力加速度，α是空气阻力（正比于速度的平方）的系数。只要认识到∫dx11−x2=∫dx12(11+x+11+x)=12(ln(1+x)−ln(1−x))=12ln1+x1−x就可以得到这个问题的精确解，v(t)=g/α−−−√egα√t−e−gα√tegα√t+e−gα√t=tanhgα−−√t如果愿意，还可以得到距离随时间的函数关系。
x=1gα√ln(coshgα−−√t)
其中，tanh和cosh是双曲正切函数和双曲正弦函数。如果你对这些函数很熟悉，就会知道，刚开始的时候，速度大约是gt，最后的平衡速度是g/α−−−√。否则，知道精确解也没有太大意思。
换个方式来求解微分方程v˙=g−αv2。
右边的第一项是常数，第二项是平方项，当v很小的时候（也就是时间t很小），第二项远小于第一项。我们干脆把它省略掉，就可以得到v˙=gt这个方程很容易求解，v=gt。把这个解带回到原方程的右端，得到v˙=g−α(gt)2这个方程也很好解，v=gt−13αg2t3=gt(1−13αgt2)。
当t很大的时候，v接近于平衡速度g/α−−−√。假设速度v=g/α−−−√−v1，带入运动方程并省略高阶小量v21，就可以得到v˙1=−2αg−−√v1这个微分方程也很好解，v1=βg/α−−−√e−2αg√t，其中，β是个待定常数。
这样，就得到速度的近似表达式：当t很小的时候，v≈gt(1−13αgt2)；当t很大的时候，v≈g/α−−−√(1−βe−2αg√t)。如果愿意，我们还可以得到这个问题的更高阶的近似解。我们还可以把这两个近似解衔接起来，进而得到位移的近似表达式。
落体运动的微分方程有精确解，而且是初等函数的精确解（双曲函数不过是指数函数的加减乘除），近似解似乎不是很有必要。下面我们看看另一个问题。单摆问题的运动方程是θ¨=−gLsinθ这是个非线性问题，没有初等函数的解析解。当θ≪1的时候，可以用sinθ≈θ来代替，θ¨=−gLθ这就是常见的单摆方程，解是θ=θ0sin2πtT0，其中，T0=2πLg，不依赖于摆角的大小。
然而，当θ比较大的时候，就不能忽略sinθ和θ的差别了。必须使用精确的运动方程，而且也是有精确解的。
T=4L/gK(sin2θ02)其中，K(x)是第一类完全椭圆积分K(x)=∫π2011−xsin2ϕ√dϕ这是个特殊函数，而且是有数值表可以查的。但是，知道这一点，对我们并没有太大帮助。可以考虑近似求解。
从对称性考虑，我们猜一个解，θ=θ0sin2πt(1+αθ20)T0，把这个解带入单摆问题的运动微分程θ¨=−gLsinθ≈−gL(θ−16θ3)
可以得到−gL(1+αθ20)2θ=−gLθ(1−16θ2)2αθ20=16θ2=16θ20sin2πt(1+αθ20)T0≈112θ20最后一个近似是把sinx用其平均值1/2来代替。这样就可以得到，单摆的周期是T=(1+124)θ20对第一类完全椭圆积分求近似，可以得到T=(1+116)θ20这两个结果还是挺接近的。修正值有大约50%的误差，产生的原因在于，正弦函数并不适合描述大角度的单摆运动：高阶非线性项会产生“久期项”。
刚才这两个问题都有些造作，因为它们都有精确解，得到精确解以后，再取近似也不迟，甚至还更好一些。
下面这个例子更合适一些，因为它确实没有精确解，但是可以用近似方法非常相当精确的结果。我们考虑的是水星近日点的进动问题。最后这个问题的难度超出了我的预想，所以单独成文了。
简而言之，适当的近似可以让你对问题有更深的了解，在此过程中，还可以让你试探更好的解决方案。
评论 (0)