说明：几天前读到这篇文章，感觉很有意思，费了些功夫把全文翻译出来，应该比读摘要更能感受学术的江湖。本人不搞数学，外语也不甚好，肯定有翻译不确切的地方。最没把握的是题目，有人把“manifold destiny”译作“流形的命运”，私下里总有些怀疑，但不妨先借过来用用。套用丘成桐的话，不知本译文是否是“迄今为止第一个完整的译文”。
流形的命运：一个传奇问题及其解决者荣誉归属之争
Sylvia Nasar , David Gruber
7月20日晚，几百名物理学家，包括一个诺贝尔奖获得者，聚集在北京友谊宾馆一个礼堂，聆听一位华人科学家丘成桐的演讲。20世纪70年代后期，20多岁的丘成桐取得了一系列突破，这些成果对物理领域的弦理论革命有很大推动作用。他不仅赢得了数学家最渴望的菲尔兹奖，也确立了他在两个学科的具有非凡技巧的思想者的地位。
从此丘成为哈佛的数学教授，并成为北京和香港数学研究机构的指导者，往返于中国与美国之间。他在友谊宾馆的演讲是国际弦理论大会的一部分，这个大会是他在中国政府支持下组织起来的，为了促进最近中国在理论物理方面取得的进展（近六千名学生参加了主要的报告会：那是人民大会堂举行的丘的老朋友霍金的报告）。丘报告的题目是大多数听众比较陌生的庞卡莱猜想，一个关于三位球面性质的百年难题，由于他在数学和宇宙学方面的重要涵义，也由于它的难以破解，被数学家视为梦寐以求的圣杯。
57岁的敦实的丘站在演讲台前，身穿衬衫，戴黑边眼镜，双手插在口袋里，描述他的两个学生----朱熹平和曹怀东----几个星期前如何完成了庞克莱猜想的证明。 “我对朱和曹的工作很乐观”，丘说。“中国的数学家有理由为能够完全解决这个难题而自豪。”他说朱和曹应该感谢他的美国长诤献髡逪amilton，他是最应获得解决庞卡莱猜想的荣誉的。他也提到了一个俄罗斯数学家Grigory Perelman，承认他做出了重要贡献。然而，丘说，“在Perelman的工作中，很多关键的证明只是给出了框架和要点，常常缺失完整的细节。”他还说，“我们想听取Perelman的意见，但他住在圣彼得堡拒绝与他人交流。”
在九十分钟的报告里，丘讨论了他的学生证明的一些技术细节。当结束的时候，没有人提问。不过那天晚上，一个巴西物理学家在自己博客里贴了一个关于这次演讲的报告，“看起来中国在数学方面不久之后也会居于前列，”他是这样写的。
Grigory Perelman的确像个世外高人。去年十二月他辞去了圣彼得堡Steklov数学研究所的工作；他的朋友很少；他和他的母亲住在城郊的一个公寓里。尽管他以前没有接受过采访，我们去拜访的时候他非常和气、坦诚，那是在六月底，丘的北京会议结束后不久，他领我们在城里作了一次长途的步行旅行。“我在寻找一些朋友，他们不必是数学家，”他说。就在这次对话之前一个星期，Perelman花数个小时与SirJohn M.ball 讨论庞卡莱猜想。今年58岁的SirJohn M.ball是数学界最有影响力的专业机构国际数学联盟（I.M.U）的主席。这次会见非同寻常，地点是俯视涅瓦河的一个庄严建筑的会议中心。早在五月底，由九位杰出数学家组成的委员会投票决定授予Perelman菲尔兹奖，由于他在庞卡莱猜想方面的工作。Ball的圣彼得堡之行是劝说他出席将于8月 22日在马德里举行的四年一次的世界数学家大会，在授奖仪式上接受菲尔兹奖。
与诺贝尔奖一样，菲尔兹奖的设立旨在促进科学发展，并超越于国家间的仇恨。1924年，德国数学家被排除在第一次国际数学家大会之外，尽管在1924年下一次数学家大会召开之前限制被解除了，但这种创伤促成了菲尔兹奖的设立，一种“纯粹国际性、尽可能客观的”的奖项。
然而，每四年一次、颁发给二至四位数学家的菲尔兹奖，不仅旨在嘉奖过去，同时期望刺激未来的研究，因此只发给四十岁以下的数学家。最近几十年，由于职业数学家的数目的增长，菲尔兹奖更具有极高荣誉。近七十年时间里，只授予过45个菲尔兹奖----包括三个与庞卡莱猜想密切相关的工作----没有数学家拒绝领奖。然而，Perelman告诉Ball他无意接受它。“我拒绝，”他简单地说。
从2002年11月开始，长达八个月的时间里，Perelman在互联网上分三次贴出了一个关于庞卡莱猜想的证明。就像十四行诗和咏叹调一样，数学证明具有明确严格的形式和一套规范。它开始于公理或广为接受的事实，运用一些列逻辑语句，最后得到一个结论。如果逻辑无懈可击，那么结果就是一个定理。法律或科学的证明基于收集的事实因此可能需要限制和修正；而数学的证明与此不同，一个定理的证明是确定的。关于一个证明结果正确与否由同行审议的专业刊物来评断；为保证公正，审稿人有刊物编辑仔细选择的，被审理的文章作者身份是保密的。文章的出版意味着证明是完整、正确、独立完成的。
从以上标准看，Perelman的证明是非正统的。对于如此艰巨的任务而言，他的证明是惊人地简短；可能阐述很多页的证明过程常常是严重压缩了。而且，这个证明没有直接提及庞卡莱猜想，而是包括了很多与中心问题不太相关的精妙的结果。但是，至少两组专家仔细检查了证明没有发现明显的漏洞或错误。在数学界似乎达成了共识：Perelman解决了庞卡莱猜想。尽管如此，由于证明的复杂性以及Perelman用简化的方式提出了很多声明，使得他的工作容易遭受质疑。很少数学家拥有足够的专业知识对此进行评价或辩护。
2003年在美国作了一系列报告之后，Perelman回到圣彼得堡。从那时起，尽管他仍然通过e-mail回答问题，他和同行们接触极少，并且出于某种无法理解的原因，他不打算发表他的工作。但是，几乎毫无疑问的是，2006年6月13日将满四十岁的Perelman应被授予菲尔兹奖。在Ball筹划 2006数学家大会的时候，他开始把这想象成一个历史事件。3000多名数学家将参加大会，西班牙朱安.卡洛斯国王已经同意主持颁奖仪式。数学联盟的通讯预测这次大会将因庞卡莱猜想“由猜想变成定理”而留在人们记忆中。Ball为了保证Perelman能够在场，决定亲自去圣彼得堡。
Ball希望他此行保密----菲尔兹奖获得者的名字要在颁奖仪式上正式宣布----因此它与Perelman见面的会议中心很偏僻。在两天十个小时的时间里，他一直在努力说服Perelman接受这个奖。Perelman，这个瘦长的、秃顶、有卷曲胡子、浓密眉毛和兰绿色眼睛的人，礼貌地倾听着。他已经三年没说过英语了，但他总是回避Ball的请求，有一次带着Ball做一次很长的漫步----这是他最喜欢的活动之一。两个星期后他总结那次对话：“他给我三种选择：接受并出席；接受但不出席，我们把奖之后寄给你；第三，我不接受。从一开始，我就告诉他我选择第三个。”他对菲尔兹奖不感兴趣，Perelman解释说。 “它和我完全无关，”他说“任何人都知道如果证明是正确，那么不需要其他方式的认可。”
自从一百多年前亨利.庞卡莱提出这个猜想后，几乎每年都有人声称证明了庞卡莱猜想。庞卡莱是一战期间的法国总统雷蒙.彭加勒（Raymond Pioncare，Pioncare在哲学界被译作彭加勒）的堂兄，是十九世界最具开创性的数学家。这个瘦小、近视、出名漫不经心的人，在他去世前八年，即1904年，提出了他的著名猜想，当时他是在一个长65页文章的结尾顺便地提及的。
在这个问题上庞卡莱没取得什么进展。“cettequestion nous entrainerait trop loin”（“这个问题会把我们带的太远”）他写道。他是拓扑学的奠基人，也因“轮胎面几何”而著名。这种几何关心空间的本质属性。对一个拓扑学家来说，一个面包圈和一个咖啡杯没有区别，都有一个洞，可以不经撕裂或切割而变形成另外一个。庞卡莱用“流形”来描述这种抽象的拓扑空间。足球面是最简单的二维流形的实例，即使被踩扁、膨胀和弄皱，对于拓扑学家来说仍是一个球面。证明一个东西是二维球面，无论是任何形状，只需它是“单连通”的，即没有洞穿透它。与足球不同，面包圈不是真正的球面。如果你在绕足球系一个活结，你可以很容易地拉动活结让它滑过球面最后拉紧使之闭合。但如果你穿过面包圈的洞在圈上系一个活结，如果不把面包圈弄破，无论怎样都无法使之闭合。
二维流形在十九世纪已经了解得很深入。但人们仍不清楚是否二维流形上成立的东西在三位流形上仍然成立。庞卡莱提出所有闭合、单连通的三维流形----即没有洞、有界的----都是球面。这个猜想对于研究已知的最大三维流形----宇宙，具有潜在的重要意义。而要证明它决非易事。很多尝试只得到令人尴尬的结果，但一些努力导致了一些重要数学发现：包括Dehn引理，球定理，Loop定理，这些结果已经成为拓扑学的基本概念。
到20世纪60年代，拓扑学已成为数学中最有活力的领域。一些年轻的数学家开始为攻克庞卡莱猜想而努力。令大多数数学家吃惊的是，四维、五维以及更高维的流行比三维流形更容易解决。到1982年，庞卡莱猜想已经在除三维以外所有维数得到了证明。2000年，克莱（clay）数学研究所，一个旨在推动数学研究的私人机构，将庞卡来猜想定为数学领域的7个最重要的问题之一，任何最终解决这个猜想的人将获得100万美元的奖金。
“我的整个数学生涯都被庞卡莱猜想占据”，哥伦比亚大学数学系负责人John Morgen说，“我从未想到我能亲眼看到它得到解决，我以为任何人都无法触及它。”
Grigory Perelman 开始并没打算成为数学家。“从来都不存在那个决定性时刻,”我们见到他时他这样说。我们当时在他居住的公寓楼外面，一片单调的高楼林立的区域。 Perelman的父亲是一个电气工程师，他鼓励他对数学的兴趣。“他让我考虑逻辑和其他数学问题”，Perelman说，“他给我很多书，教我下象棋，他为我自豪。”在父亲给他的书中，有一本“趣味物理”，那是苏联30年代的畅销书。在前言中，作者说书中内容充满“谜语、趣味训练、趣闻轶事和意想不到的对比”，还说“我大量引用了儒勒.凡尔纳、赫伯特•乔治•威尔斯、马克.土温和其他作家的作品，因为，除了提供消遣，这些作家描述的有趣试验，可作为物理课堂的启发性范例。”这本书里包括怎样从行驶的车上跳下，以及“由于浮力原理，我们在死海里永远不会沉下去。”
苏联社会对他出于兴趣所做出的成就非常惊叹。十四岁那年，他时成为一个地方数学团体的明星。1982年，也就是丘成桐获得菲尔兹奖的那一年， Perelman以满分成绩获得在布达佩斯举行的国际奥林匹克数学竞赛的金牌。他和队友相处融洽但不亲密----“我没有朋友”他说。他时所在年级的两三个犹太人之一，他对歌剧很痴迷，这也是使他远离同龄人的原因之一。他的母亲是一个技术学院的数学教师，从他六岁开始带他去剧院。Perelman 15岁时他把零花钱花在买唱片上。他得到了一份1946年著名歌剧“茶花女”的演出录音，这使他欣喜若狂。Licia Albanese饰演Violetta，“她的声音美极了”，他说。
1982年，16岁的Perelman入列宁格勒大学学习，他学习几何学的高级课程，解决了Steklov研究所的Yuri Burago教授提出的一个问题，后来他成了Perelman的导师。“很多很聪明的学生深入思考之前就发言”，他说“但是Grisha不同，他深思熟虑，答案总是正确的，他总是检查的很仔细。”Burago还说，“他不属于反应极快的那种，速度不代表什么，数学不凭速度，而是凭着深刻。”
90年代早期在Steklov研究所，Perelman 成为黎曼几何和Alexandrov空间几何----两者是传统欧式几何的延伸----的专家，他开始在俄罗斯和美国的领先刊物上发表文章。1992年，他受到邀请到纽约大学和纽约州立石溪大学（Stony Brook Unversity）各访问一个学期。那年秋天他离开俄罗斯去美国的时候，俄罗斯经济开始崩溃。M.I.T的一个数学家Dan Strook回忆他当年将一叠叠美元偷运回国给Steklov的一个退休数学家，和他的许多同事一样，那个数学家变得一无所有。
Perelman很乐意呆在美国，这个国际数学中心。他每天穿同一件灯芯绒夹克，他告诉纽约大学的同事他的日常饮食是面包、奶酪和牛奶。他喜欢到 Brooklyn去散步，哪里有他的亲戚，还可以买到传统的俄罗斯褐色面包。他的一些同时被他的指甲吓住了，那足有几英寸长。“如果他们要生长，干吗不让他们长呢？”当有人问及他为何不剪指甲时他总是这样说。每周一次，他和一个叫田刚的年轻的中国数学家驱车到普林斯顿的高等学术研究所参加讨论班。
几十年的时间里，高等学术研究所和附近的普林斯顿大学一直是拓扑学的研究中心。70年代晚期，William Thurston, 一个喜欢用剪刀和图纸来检验他想法的普林斯顿数学家提出了一种针对三位流形的分类法，他认为，虽然流形可以呈现不同的形状，他们仍然会 “偏好”一种几何体。正如一块丝绸垂到裁缝的模特衣架上，他会呈现和模特衣架一致的形状。
Thurston建议每个三位流形都可以分割成8种基本元素的一种或几种，其中包括一个球面类型。Thurston的理论----即著名的几何化猜想----描述了所有的可能的三维流形，因此是庞卡莱猜想的一个有力推广。如果几何化猜想被证明，那么庞卡莱猜想也将被证明。证明几何化猜想和庞卡莱猜想“一定会打开很多扇门”，一个哈佛大学的数学家Barry Mazur说。尽管对于其他学科的意义如干年内可能不甚明了，但它们对于数学领域是基础性的。“这是20世纪的勾股定理，”Mazur说，“它将改变整个面貌。”
1982年，由于在拓扑学上的贡献Thurston获得了菲尔兹奖。那一年，Richard Hamilton，一位康乃尔大学的数学家发表了一篇关于一种叫做Ricci流的方程的文章，他猜想也许Ricci流在解决Thurston的猜想和庞卡莱猜想时可能会用到。就像热力学方程描述热量在物质----例如金属片中流动，它从冷的一段流向热的一段，最后得到一个均匀的温度；Ricci流，通过光滑抹掉奇异点，使流形成为一个均匀的几何体。
Hamilton，辛辛纳提州的一个医生的儿子，拒绝数学界的人士的老套的职业性形象。他鲁莽、不信神，喜欢骑马、冲浪，还有一大堆女朋友。他只把数学当作他生活众多生活乐趣之一。49岁那年，他被认为是个出色的教师，但是除了他在Ricci流方面的开创性文章外，他的文章数目相对较少，他也没几个研究生。Perelman读了Hamilton的文章，去听了他在高等学术研究所的报告。然后，他很害羞地向他请教。
“我真得很想问他一些东西，”，Perelman 回忆说，“他微笑着，非常耐心，他甚至几年之后才发表的一些东西都告诉了我。他毫不犹豫地告诉我，Hamilton的坦诚和慷慨真的很吸引我，我认为大多数数学家都不可能像他那样。”
“我做的是不同的东西，尽管偶尔也会思考Ricci流。”，perelman说，“你不必是多了不起的数学家就能发现这对几何化问题很有用。我觉得我知道得太少，我不断问他问题。”
丘成桐也在问Hamilton关于Ricci流的问题。丘和Hamilton在70年代相识，尽管脾气和背景都差别很大，两人成了亲密的朋友。一位圣迭戈的加州大学的对双方都很熟悉的数学家把他们的关系描述为“对彼此生命的数学之爱”。
同成千上万逃避毛的军队的难民一样，丘的全家于1949年从大陆移居香港，那时丘只有五岁。之前的一年，他的父亲，一位联合国的救济工作者，因一系列失败的投资耗光了家庭的积蓄。在香港，为了养活妻子和八个孩子，他在大学教授古文和哲学。
丘14 岁那年，父亲因肾癌去世。他的母亲靠教会救济和卖手工艺品维持生活。到那是丘还是一个平常的学生。但他已经在学校打工，靠教其他同学数学挣些钱。“使丘努力的部分原因是他把自己的生活看作是为他的父亲雪耻。”与丘相识20多年的M.I.T数学家Dan Strook说，“他的父亲就像个勤恳的犹太法典编著者，而自己子女在挨饿。”
丘在香港中文大学学习数学，在那他引起了著名的中国数学家陈省身的注意。陈帮助他得到了加州大学Berkeley分校的奖学金。陈是一个著名的拓扑几何学定理的提出者。他的大部分职业生涯在美国的Berkeley度过。他经常去香港、台湾后来又去中国大陆访问，在那里，他被看作中国最高学术成就的象征以促进数学和科学研究。
1969年，丘开始在Berkeley读研究生，他每个学期选7门研究生课还旁听几门课。他把奖学金的一半寄给在中国的母亲，他的坚韧给他的教授们留下了深刻印象。他的第一个重要的结果不得不和他人分享荣誉，因为他得知另两个数学家同时在做同一个问题。1976年，他证明了关于一种流形的20年的猜想，这个猜想现在对于弦理论非常重要。一个法国数学家已经列出了关于这个问题的一个证明，即卡拉比（Calabi）猜想。但是丘的证明更具有普遍意义，因此更有用。（物理学家现在称之为Calabi----Yau流形）“他不是特别善于想出看问题的原创性方式，而是擅长去解决极困难的技术性问题，凭借全部智慧和很强的信念，”Phillip Griffiths，高等学术研究所前所长这样评价说。
1980年，30岁的丘成为高等学术研究所拥有永久职位的最年轻的数学家之一。他开始吸引有天分的学生。两年后他获得菲尔兹奖，成为第一个获此奖项的中国人。那时陈七十岁了，到了该退休的年龄。按照陈的一个亲戚的说法，“丘认为他将是下一个最著名的中国数学家，该是陈退位的时候了。”
哈佛一直想把丘招过来，于是在1983年，当准备再一次请他加盟的时候，Phillip Griffiths告诉哈佛的系主任“三国演义”中“三顾茅庐”的故事。公元3世纪，一个诸侯想建立一个帝国，但最杰出的将军为竞争对手服务。这个诸侯连续三次前去他的敌国拜访这位将军。最后将军被感动同意效忠于他，终于他们建成一个帝国。心领神会之后，系主任飞往丘当时居住的费城，把录用通知给他。尽管如此，丘拒绝了这个机会，最后在1987年，他终于同意去哈佛。
丘很有企业家的干劲，他与同事和学生合作，除了自己的研究工作，他开始组织讨论班。他经常与一些极富创造性的数学家合作，包括Richard Schoen，Willian Meeks. 但丘对Hamlton印象尤为深刻，无论是他的超凡想象力还是他的狂妄自大。“我和Hamilton在一起很开心，”，丘在北京参加弦理论大会时说，“我与他一起去游泳，我和他及他的女朋友们一起出去玩。”丘确信Hamilton能够用Ricci流方程解决庞卡莱猜想和Thurston猜想，他屯促他关注这些问题。“与丘的相识改变了他的数学生涯，”一个对熟悉他们的数学家说。“这是他第一次意识到一个很大的东西，与丘的交谈给他信心和方向。”
丘认为如果他能帮助解决庞卡莱猜想，那不仅是他个人的胜利也是中国的胜利。在90年代初，丘和另外几个著名华裔学者被国家主席江泽民接见，讨论如何重建在文革中遭到重创的科研机构。中国的大学境况悲惨。因证明高维庞卡莱猜想获得菲尔兹奖的Steve Smale从Berkeley退休后在香港任教，他提到北京大学“礼堂里飘着尿骚味，所有助理教授只有一个公共房间、一个办公室”，薪水少得可怜。丘说服一个香港房地产大亨资助北京的中科院数学所，设立一个类似于菲尔兹奖的奖项，用于奖励四十五岁以下的数学家。在中国，他为Hamilton和他与自己在 Ricci流和庞卡莱猜想方面的合作大做广告，认为年轻数学家应以此为榜样。如他在北京所说，“人们总说全国要学习毛或其他英雄人物。我对他们既开玩笑又认真地说，全国都应向Hamilton学习。”
Grigory Perelman已经在从Hamilton那里学到东西。1993年，他在Berkeley 开始了两年的访问。他在那的时候，Hamilton作了几次报告，其中一次提到他正在做庞卡莱猜想。Hamilton的Ricci流方法很微妙，非常富于技巧性。有一次在Berkeley做完报告后，他把这种方法遇到的最大障碍告诉了Perelman. 当空间被Ricci流光滑之后，一些区域变形为所说的“奇异点”，一些被称为“脖子”区域，变成密度无限大的细长区域。最让Hamilton头痛的是一种被称为“雪茄”的奇异点。如果形成了“雪茄”，Hamilton担心将不可能得到均匀的几何体。Perelman 认识到一旦Hamilton解决了雪茄问题，他的关于Alexandrov空间的论文也许能帮助Hamilton解决Thurston猜想和庞卡莱猜想。 “有一次，我问Hamilton是否知道我已经证明但没发表的一些塌陷理论的结果----后来这些结果对证明非常有用，”Perelman回忆说，“后来，我明白他没弄懂我在说什么。”M.I..T的Dan Strook说，“Perelman 可能从丘和Hamilton那里学到了东西，但是，那时他们没向他学到东西。”
在Berkeley的第一年快结束时，Perelman已经写出了几篇非常原创性的文章。他被邀请在1994年苏黎世举行的世界数学家大会上作报告，被邀请到斯坦福、普林斯顿、高等学术研究所及Tel Aviv大学申请职位。和丘一样，Perelman是个了不起的问题解决者。他的着重点是得到一些特定的结果，而不是花上若干年去构建一个理论框架或开创新的研究领域。具与Perelman合作过的俄罗斯著名数学家Mikhail Gromov说，他一度想攻克一个与Alexandrov空间有关的技术困难，但显然被难住了。“他做不下去，”Gromov说，“毫无希望。”
Perelman告诉我们那时他想立刻作几个问题。然而，在Berkeley，他发现自己一次又一次回到Hamilton的Ricci流方程和 Hamilton认为应用Ricci流能够解决的问题上去。Perelman的一些朋友注意到他变得越来越像个苦行僧。圣彼得堡来的访问者非常吃惊地注意到他的房间里几乎没什么家具。一些人担心他好像要把全部生活简化成一套僵硬的公理。当斯坦福招聘委员会的一个工作人员要求他在推荐信中加一份简历时， Perelman固执地拒绝了。“如果他们了解我的工作，就不需要我的简历，如果需要我的简历，说明他们不了解我的工作。”
最后他得到了好几个工作机会，但是他全部回绝了。1995年夏天他返回圣彼得堡从事他以前的工作，每月工资不足100美元。（他对朋友说在美国他已经攒够了足够的钱度过下半辈子）他的父亲两年前已经移居以色列，他的妹妹也打算大学毕业后到父亲那去。他的母亲已经决定留在圣彼得堡，于是Perelman搬去和母亲一起生活。“我明白在俄罗斯我会工作的更好。”他对Steklov的同事说。
29岁的时候，Perelman牢固确立了他的数学家地位，但没有被他的职业责任所束缚。他自由地投入自己感兴趣的问题。他明白如果他选择公开发表，他的工作会受人重视。在Berkeley认识Perelman的斯坦福数学家Yakov Eliashberg认为Perelman返回俄罗斯是为了庞卡莱猜想。当我们问及Eliashberg的直觉是否正确，他说“为什么不呢？”
互联网的存在使他能够从共享知识库中获得需要的东西，从而能够独立工作。Perelman搜索Hamilton的文章为自己的工作寻找线索，还组织了几个关于他工作的讨论班。“他不要任何帮助，”Gromov说。“他喜欢独自奋斗。他让我联想起牛顿----为一个想法着迷，独自奋斗，不在意别人的想法。牛顿更令人不快，Perelman要好一些，但也是非常固执。
1995年，Hamilton发表了一篇文章，讨论了证明庞卡莱猜想的几个思想。读了这篇文章，Perelman明白Hamilton在克服它的两大障碍 ----脖子和雪茄问题上没有取得任何进展。“1992年以后，没有东西表明他取得了进展”，Perelman告诉我们。“甚至他更拘泥于以前的想法。”但是，Perelman认为他在绝境中看到了一条路。1996年，他给Hamilton写了封信，谈了他的见解，希望能够合作。“他没有回信，” Perelman说，“因此我决定独自工作。”
丘不知道Hamilton的关于庞卡莱猜想的工作已经停滞不前。他越来越关心自己在数学界、特别是在中国大陆的身份，他担心一个年轻的学者会在中国取代他陈的接班人的地位。丘得到他最后一个重要的结果已经是十多年前的事，虽然他还在大量发表文章。“丘想做几何之王，”，纽约石溪大学的一位几何学家 Michael Anderson说，“他认为任何事都应该有它发号施令，他应统管全局。他不喜欢别人侵入他的地盘。”为了继续控制他的领域，丘推动自己的学生去解决大问题。在哈佛，他开了一个极困难的微分几何讨论班，每周三次，每次三个小时。他给每个学生都布置了一个最新发表的文章，让他们重新证明一遍，改正错误或补漏洞。丘认为每个数学家都不能含糊不清，他使学生们对“步步为营”的重要性印象深刻。
在数学领域做出原创性贡献有两种途径。第一种是给出原始证明，第二种途径是给其他人的证明找到关键漏洞，补上缺失部分。但是，只有弥补真正的数学上的漏洞 ----缺失或错误证明，才能称之为原创性工作。如果只是弥补一些说明性漏洞----例如简化、省略，以使证明更充分，是不算原创性工作的。1993年， Andrew Wiles发现他的费马大定理的最后一个定理的证明存在一个漏洞，这个问题成为一个公平的竞争，直到第二年Wiles修正了这个错误。相对而言，大多数数学家认为，如果一个专家使一个不太明确证明变得更明确，这个漏洞应该算说明性漏洞，以前的证明应该被认为是完整、正确的。
偶尔，数学性漏洞和说明性漏洞可能很难区分。至少有一次，丘和他的学生似乎混淆了两者，声称他们获得了原创性结果，而其他数学家并不这么认为。1996 年，Berkeley的一个年轻几何学家Alexander Givental证明了关于弦理论的一个基础性概念----镜对称的一个猜想。尽管其他数学家觉得Givental的证明很难懂，他们都对他解决了这个问题持乐观态度。如一个几何学家所说，“当时没人认为它不完整或不正确。”
1997年秋天，在斯坦福教书的丘的一个学生刘克峰，在哈佛大学作了一个关于镜对称的报告。据在场的两个几何学家说，刘接着给出了一个与Givental 的证明惊人相似的另一个证明，文章的合作者是丘和丘的另一个学生。其中一个几何学家说，“刘提到了Givental，但只作为对这个领域做出贡献的所有人中的一个。”（刘坚持说他的证明和Givental的是显著不同的）。
在同一时间，Givental收到了丘及其合作者的e-mail，说他们发现他的证明和概念艰涩难解，现在他们得到了一个自己的证明。他们赞扬了Givental的“出色想法”，还写道，“在我们文章定稿中，您的重要贡献会得到承认。”
几星期后，这篇题为“镜对称理论一”（Mirror Principle I）发表于丘做主编的亚洲数学期刊上（the Asian Jounal of Mathematics）。在这篇文章里，丘及其合作者把他们的结果描述为“第一个完整的证明”。他们只顺便提及了Givental的工作。“很遗憾，” 他们说，很多有名望的专家读过他证明，但它“是不完整的”。
Givental大吃一惊。“我很想知道他们的目的是什么，”他对我们说，“我如果不去揭露他们，就不能保护自己。”1998年3月，他发表了一篇包含3 页脚注的文章，指出丘的证明和他的证明的一系列相似之处。几个月后，一位受同行委托调查这个争端的芝加哥大学的年轻数学家得出结论，Givental的证明是完整的。丘说他和他的学生很多年来一直在做这个证明，他们是独立得到了这个结果。“我们有自己的想法，并写成文章。”他说。
与此同时，丘和陈及中国数学界发生了第一次严重的冲突。很多年来，陈一直希望数学家大会能在北京召开。据当时在世界数学联盟（IMU）工作的数学家说，丘竭尽全力试图让数学家大会在香港召开。但他没有成功说服做够多的同行接受他的建议，最后世界数学家大会决定在北京召开。（丘否认他试图让大会在香港召开。） IMU任命的专门负责发言人名单的组委会中，有一位是丘最成功的学生----田刚，他曾和Perelman一起在纽约大学共事，现在是M.I.T的教授。北京的组委会邀请了田作一小时报告。
丘大感震惊。2000年三月，他刚刚发表了一个本领域的研究综述，其中详尽引用、介绍了田自己、及其与他本人的合作工作。他报复性地组织了他的第一次弦理论大会，地点在北京，时间是2002年8月，就在世界数学家大会的前几天召开。他说服斯蒂芬.霍金（Steven Hawking）和好几个诺贝尔奖获得者参加，一连几天，中国的报纸上都是著名科学家的照片。丘甚至设法安排他的团体拜见了江泽民。一个帮助组织数学家大会的数学家回忆“当时机场到北京高速公路沿途到处张贴着霍金的大幅广告照片”。
那年夏天，丘无暇考虑庞卡莱问题。他对Hamilton有信心，只是觉得进度太慢。“Hamilton是个很好的朋友，”丘在北京告诉我们。“他不仅仅是朋友，他还是个英雄。他是那么有原创性。我们正努力完成我们的证明。Hamilton已经研究这个问题25年了。工作总有疲倦的时候。他可能有些疲倦---- 总得让他休息一下。”
那年11月11日，Perelman 在arXiv.org上贴了一个题为“Ricci流的熵函数及其几何应用（The Entropy formula for the Ricci Flow and Its geometric Applications）”的文章，那是一个数学家们张贴正在审议、等待发表的预印本的网站。然后他通过e-mail把他的文章摘要发给了美国的很多数学家----包括Hamilton，田刚和丘成桐，他们已经很多年没听到他的消息了。在摘要中，他说他给出了一个关于几何化猜想的“综合性证明的框架”。
Perelman没有对任何人提起、也没给人看过他的证明。“我没有可以与之讨论这个问题的朋友，”他在圣彼得堡对我们讲，“我不想与我信不过的人讨论我的工作。”Adrew Wiles在做费马大定理的最后一个定理时也是秘密进行的，但他公布结果之前，有一个同事帮他审查过。像Perelman这样随便把一个著名数学问题的证明贴到网上，不仅不合惯例，而且冒很大风险。如果证明被发现有错，他会被嘲笑羞辱，也无法阻止其他数学家修补他的漏洞而成为最终解决者。但 Perelman说他并不是特别担心。“我的逻辑是，如果我有一个错误，而别的人在我工作基础上给出了一个正确证明，我将会很高兴，”他说，“我从来没打算做庞卡莱猜想的唯一解决者。”
田刚在他M.I.T的办公室里读到了Perelman的e-mail. 1992年在纽约大学的时候他与Perelman相处融洽，他们一起去参加普林斯顿的每周的讨论班。“我立刻意识到它的重要性，”田谈到Perelman 的文章时说。田开始读这篇文章并和同事们讨论，对此他们和他一样地热心。
11月19日，一个几何学家Vitali Kapovitch给Perelman发了一封e-mail：
亲爱的Grisa，很抱歉打搅你，但很多人向我询问关于你的预印本文章“The entropy formula for the Ricci…”。是不是你不能应用Hamilton方案完成所有步骤，你可以应用塌陷理论的结果 证明几何化猜想？我的理解对吗？Vitali
Perelman第二天的回信非常简短，“是这样。Grisha”。
实际上，Perelman贴到网上的只是他的证明的第一部分。但数学家们已经能够从中看出他解决庞卡莱猜想的思路。一个哈佛数学家Barry Mazur用“凹陷挡板”比喻来描述Perelman的成果：“设想的汽车挡板凹陷下去了，你给技师打电话询问如何把他弄平。技师在电话里费好大工夫也讲不清楚。你只好把车带到修车厂去检修。然后他会告诉你在什么地方敲打几下。Hamilton介绍、Perelman完成的工作是独立于具体细节的。如果在三维空间应用Ricci流，它会去掉‘凹陷’使之光滑，汽车技师甚至不需要看一眼汽车----只要应用方程就行了。”Perelman证明了困扰 Hamilton的“雪茄”实际上不会发生，而脖子问题他可以实行一系列数学上的外科手术得以解决：切掉奇异点，把原始的边缘拼接起来。“我们现在有了光滑的方法，只需要在关键点上，控制断裂就行了。”
田给Perelman写信，邀请他到M.I.T作关于这篇文章的报告，普林斯顿和石溪大学也发出了邀请。Perelman接受了所有邀请，预订了于 2003年4月份开始的一个月的演讲。“为什么不去呢？”他耸耸肩膀说。谈到数学家，密歇根州立大学的数学家Fedor Nazarov说，“当你解决了一个问题，你有一种强烈的愿望去讲述它。”
Perelman的声明使Hamilton和丘遭受重创。“我们觉得没有其他人能找到解决方法，”，丘在北京对我们说。“但是，2002年， Perelman说他公布了什么东西。他给出了基础性的简化的证明，但没有做我们所完成的详细的估计。”。丘进一步说，Perelman的证明“写得如此杂论无章以至于我们无法理解。”
Perelman四月份的巡回报告被数学家和媒体作为一件大事广泛关注。他的报告的听众包括John Ball，Andrew Wiles，John Forbes Nash, 证明了黎曼嵌入定理的Jr.，以及细胞生命自动机模型的发明者John Conway。令许多听众吃惊的是，Perelman关于庞卡莱猜想什么都没说。“这个证明了举世闻名的定理的人，却甚至提都不提它，”弗吉尼亚理工大学的数学家Frank Quinn说。“他宣布了一些要点和特殊性质，然后开始回答问题。他在确立自己的可信度。如果他拍着胸脯说‘我解决了’，他可能遇到很大的抵触。”他补充说，“人们设想将看到新奇的场面，而Perelman比他们设想的要正常的多。”
让Perelman失望的是，Hamilton没有出席那次和之后在石溪大学的报告会。“我是Hamilton的学生，尽管未经他认可，” Perelman对我们说。而现在Hamilton所在的哥伦比亚大学的John Morgan 参加了石溪大学的报告会，一次报告结束后他邀请Perelman到哥伦比亚大学去。因为很想见Hamilton，Perelman同意了。报告是在星期六早晨。Hamilton露面较晚，在报告后的长时间讨论中和之后的午餐时间，Hamilton没提任何问题。“我的印象是他只读了我文章的第一部分，” Perelman说。
2003年4月18日发行的Science的一篇文章中描述了丘对Perelman证明的评价：“许多专家，虽然不是全部，似乎肯定Perelman已经熄灭了‘雪茄’、制服了狭窄的‘脖子’，但他们对它能否控制那些‘手术’信心不足。那可能成为一个致命漏洞，丘警告说，要知道很多证明庞卡莱猜想的努力都因缺失相似的步骤而失败。”丘对我们说，应该以怀疑的态度对待一个数学证明，直到数学家们有机会彻底审查过为止。直到那时，他说，“这不是数学----这是宗教。”
到7月中旬，Perelman已经把他的证明的另外两部分贴到了网上，数学家们开始了正式的分析工作，极费力地回推他的步骤。在美国，至少要两组专家自愿承担了这个任务：田刚（丘的对头）和John Morgan，另一组是密歇根大学的两个研究者。两个项目都受克莱（clay）研究所的支持，现在正准备把田刚和Morgan的工作出版成书。这本书一方面为其他科学家读懂Perelman的证明提供引导，定一方面为克莱研究所提供依据，考虑是否把解决庞卡莱猜想的百万大奖给Perelman。（只有证明在同行审议的刊物发表，并经受数学界两年以上的详细审查才符合获奖条件。）
2004年9月10日，Perelman回到圣彼得堡一年多之后，他收到了田刚的一封很长的e-mail，田说他刚刚在普林斯顿参加了一个关于Perelman证明的研讨会。“我想我们已经理解了整篇文章，”田说，“它是对的。”
Perelman没有回信。他对我们解释说，“我不怎么为自己担心。这是个著名的问题，一些人需要一段时间去习惯于这个事实：这个问题已经不再是个猜想。我个人决定在核实的过程中保持距离，不去参加这些会议。我不能影响这个过程，这很重要。”
那年夏天，美国国家科学基金拨款近一百万美元给丘、Hamilton和丘的几个学生，用于研究、应用Perelman所取得的“突破”。围绕庞卡莱猜想已经形成了一个完整的数学分支，现在这个分支面临过时的危险。证明四维庞卡莱猜想而获菲尔兹奖的Michael Freedman对时代周刊说，Perelman的证明“对这个拓扑学的特殊分支是个有点悲痛的消息”。Yuri Burago 说，“它杀死了这个领域。这个问题完成后，很多数学家将不得不转行到其他的领域。”
五个月后，陈去世了，为了确保是他本人----而不是田刚----接替陈的位置，丘开始有些不择手段。“都是为了他们在中国的首席位子和在海外华人中的领导权，”，普林斯顿大学数学系的前系主任Joseph Kohn说，“丘不是妒嫉田的数学成就，但他妒嫉田在中国的权力。”
尽管他小时候在中国没呆过几个月，他确信由于自己是中国唯一的菲尔兹奖获得者，因此是陈当之无愧的接班人。2004年夏天，在杭州的浙江大学的一次演讲中，丘对他的听众提到他的根在中国。“当我走出飞机，踏上北京的土地，我感受到回到祖国的巨大喜悦，”，他说。“我可以骄傲地说，在我获得菲尔兹奖的时候，我没有持其他国家的护照，因此是当之无愧是中国人。”
接下来的夏天，丘回到了中国，在接见一系列的记者采访时，攻击了田刚和北京大学的数学家。在北京科技日报的一篇题为“数学大师丘成桐痛击学术腐败”的文章中，丘称田“一塌糊涂”，他指控他在几个地方做兼职教授，每年在中国的大学只待几个月却拿百万年薪，而学生们每月生活费不足一千元。他还指责田学问二流、有剽窃行为，以及胁迫自己的学生在论文上署上自己的名字。“我一手提把，使他成名，也该为他今日的作风负责任。”丘在接受一个记者采访时，解释自己为什么必须把这些讲出来。
在另一次采访中，丘讲述了菲尔兹奖评委会在1988年没把奖授予田刚，他是如何为了田刚的利益去好几个评奖委员会游说，其中一个是美国国家科学基金，1994年奖励田刚五十万美元。
丘的的攻击令田大为惊骇，但他觉得，作为丘从前的学生，他对此无能为力。“他的职责是毫无根据的，”田对我们说，但是，他补充说，“我是受中国文化影响很深的人。老师就是老师，总还存有一份敬意。我很难想象针对这件事我还能做什么。”
丘在中国的时候，他拜访了朱熹平，朱现在是中山大学数学系的系主任。2003年春天，在Perelman结束了他在美国的巡回报告后，丘召集了朱熹平和他另一个学生，Lehigh大学的曹怀东，来分析、阐述Perelman的证明。朱和曹都是在丘的指导下研究Ricci流，丘尤其认为朱是个有希望的数学家。“我们必须弄清楚Perelman的证明是否全部正确，”丘指示他们说。丘安排朱于2005-2006学年到哈佛访问，在那里他开了一个关于 Perelman证明的讨论班，继续与曹合做他们的论文。
今年4月13日，亚洲数学期刊（A.J.M）编辑委员会的31名数学家收到了丘和主编的一封简短的e-mail，通知他们用三天的时间考虑一篇作者为朱熹平、曹怀东，标题为“瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论:庞加莱和几何化猜想”的论文，丘打算在这个刊物上发表。这个邮件没有包含文章内容、审稿人意见以及文章摘要。至少有两个编委提出想看一下文章内容，但被告知不能提供。4月16日，曹收到丘的消息，告诉他文章已被A.J.M接收了，文章摘要已经公布到刊物的网站上。
一个月后，丘在剑桥与克莱研究所所长Jim Carlson共进午餐。他对Carlson说想用曹和朱的文章换一份田和Morgan那本书的手稿。丘告诉我们他担心田会剽窃曹和朱的工作，他想让双方能够同时看到对方写的内容。“我与Carlson共进午餐，要求交换手稿以保证谁都不能抄袭对方的东西，”丘说。Carlson没有答应，解释说克莱研究所还没收到田和Morgan的全部手稿。
下一个星期的周末，A.J.M网站上的朱和曹的文章题目变成了“庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼理论的应用”文章摘要也进行了修改。一个新加进去的句子解释说，“这个证明被视为Hamilton-Perelman关于Ricci流理论的封顶之作。”
朱和曹的文章超过三百页，占了六月份A.J.M的整整一期的篇幅。这篇长文重新证明了许多Hamilton的Ricci流结果----包括Perelman在他的证明中用到的结果，以及许多Perelman证明庞卡莱猜想的结果。在引言中，朱和曹评价Perelman“引入全新的思想，找到克服 Hamilton方案中存在的障碍的重要方法。”然而，他们不得不“用我们自己研究得到的新方法替代Perelman的几个关键的证明，因为我们无法理解他的原始证明，而这对完成几何化猜想至关重要。”熟悉Perelman证明的数学家质疑朱和曹是否为庞卡莱猜想提供有价值的新证明。“Perelman已经做到了，他的结果是完整、正确的，”John Morgan说。“我没看出他们做的东西有什么不同。”
到了6月初，丘开始公开宣传这个证明。6月3日，在北京的数学所，他召开了一个记者招待会。数学所的所长试图解释数学家们对解决庞卡莱猜想所作的贡献，说：“Hamilton占50%多，俄罗斯人Perelman占25%，中国人，包括丘、曹和朱约占30%”（可见甚至数学家也会犯简单的加法错误）丘补充说，“ 由于庞卡莱猜想非常重要，中国数学家完成30%实在不是件简单的事，这是非常重要的贡献。”
6月12日，丘的北京弦理论大会召开前一周，南华早报（South China morning Post）报道说“中国大陆帮助攻克了‘千禧年’问题的数学家将把他们的方法及发现交给为物理学家斯蒂芬.霍金….负责安排霍金访问、同时也是朱熹平教授的指导者的丘成桐，昨天说他将把他们的发现交给霍金过目，因为他相信这些知识将有助于他研究黑洞的形成。”
在北京发表他的演说的那个早晨，丘告诉我们，“我们要让人了解我们的贡献，这也是鼓励朱熹平的一种策略，他在中国做出了非常好的工作。我是指，关于一个有百年历史的著名问题的重要工作，它在以后几个世纪之后很可能仍然意义重大。无论怎样，如果你能署上你的名字，那就是贡献。”
ET.Bell，1937年出版的关于数学史的诙谐之作----“数学人物”一书的作者，有一次感叹说，“优先权之争玷污了科学史。”但在不存在e- mail、博客、和网站的时代，人们起码还保留一些风度。1881年，再Daen大学的庞卡莱，与莱比锡一位名叫Felix Klein的德国数学家发生了争吵。庞卡莱发表了几篇文章，以一位数学家名字“Fuchsian”命名一类方程。Klein写信给庞卡莱，指出他和别人关于这个方程也做了的有价值的工作。一封封礼貌的书信来往于莱比锡和Caen之间。关于这个问题庞卡莱最后的话是引用歌德的“浮士德”：“Name ist Schall und Rauch”，粗略地翻译大致相当于莎士比亚的“名字有何意义？”（what’s in a name?）
这其实也是丘的朋友们百思不解的问题。“我发现自己对丘很恼火，他好像对更多的奖赏贪得无厌。”M.I.T的Dan Strook说。“这个人取得过辉煌成就，已经得到了足够的奖励。他得到了所有能得的奖。在这件事上他也想分一杯羹，我觉得有点卑劣。”Strook指出，25年前，丘的处境和今天Perelman的处境非常相似。他的最著名结果Calabi----Yau流形，对理论物理非常重要。“Calabi给出了一个方案，”Strook说。“从真正意义上说，丘就是Calabi的Perelman。现在他站在另一边。他当时问心无愧地接受了Calabi----Yau 的绝大部分荣誉，但现在他似乎憎恨Perelman完成了Hamilton方案而获得了荣誉。我不知道这种相似的事是否曾经发生在他身上。”
与其他许多学科相比，数学更依赖于合作。许多问题需要几个数学家的洞察力才能得以解决。这个职业已经形成一个与学科本身同样严格的标准，根据每个人的贡献获得自己应得那一份荣誉。如Perelman所说，“如果每个人都很诚实，很自然会共享思想。”许多数学家认为丘对Perelman的做法已经违反了基本道德，担心这种行为会对这种职业造成伤害。“政治、权利和控制欲在我们这个团体中没有合法性，他们威胁到我们领域的正直和公正”Phllip Griffith说。
Perelman喜欢在圣彼得堡的Mariinsky剧院观看歌剧。坐在后方的较高处，他看不清歌唱者的表情也看不清化妆的细节。但他只关心他们的声音，他说那个位置的的声音比剧院任何其他位置都好。Perelman看待数学界----以至更广泛的世界，也隔着一个与之相似的距离。
在我们于7月23日到达圣彼得堡之前，我们已经给他Steklov研究所的e-mail地址发了好几封信，希望他能安排一次见面，但他没有回复。我们乘出租车来到他的公寓楼，因为不想侵犯他的隐私，就在他的信箱放了一本John Nash的论文集和一张卡，告诉他我们将于第二天下午在附近操场的长椅上等他。第二天，Perelman没有出现，我们在信箱里放了一包珍珠茶和一个字条，写了一些我们想和他讨论的问题。这种过程我们重复了三次。最后，我们确信Perelman不在城里，就按了他公寓的门铃，希望至少能见到他的母亲。一个女人应答并请我们进门。Perelman和我们在公寓昏暗的门厅相遇。他已经几个月没查过Steklov的e-mail，而且整整一周没有看过他的信箱了。他不知道我们是谁。
我们安排第二天上午十点在Nevsky Prospekt见面。在那里，身穿运动衫、脚穿loaf休闲鞋的Perelman带着我们在城里进行了四个小时的步行旅行，评论每一处建筑和景色。之后，我们去圣彼得堡音乐学校观看了一场持续五小时的歌唱比赛。Perelman反复说他已经退出了数学界，不再认为自己是个职业数学家。他提到了若干年前与一位合作者关于一个证明的所有权的争端，他说这个学科松懈的道德规范让人灰心。“被看作异类的不是那些违反道德规范的人，”他说，“而是像我这样的人被孤立。”我们问他是否读过曹和朱的文章。“我还不清楚他们做了什么新的贡献，”他说，“显然，朱没有十分读懂我的证明又重做了一遍。”至于丘， Perelman说，“不能说我很愤怒，还有人做得更糟。当然，有一些数学家或多或少是诚实的。但他们是不讲原则的人。他们或多或少是诚实的，但他们纵容那些不诚实的人。
获得菲尔兹奖的可能性使他决定彻底告别他的职业。“只要我还不引人注目，我就有选择余地，”Perelman解释说，“或者做肮脏的事”----一种对数学界缺少道德规范的的焦虑----“或者，如果因为我不做这些事而被人当成一个活宝。现在，我变得引人注目，我不能像个活宝什么都不说。这就是我退出的原因。”我们问Perelman如果他拒绝菲尔兹奖告别他的职业，他是否会失去影响这个学科的可能性。“我不是政客！”他有些生气地回答。Perelman不想说是否他也会拒绝克莱研究所的百万大奖。“在他们决定把奖给我之前我不去决定是否接受它。”
俄罗斯几何学家Mikhail Gromov说他理解Perelman的逻辑：“做伟大的工作，需要纯净的头脑。你只能思考数学。想任何别的事都是人性的软弱。接受大奖是屈服于软弱。” Gromov说，其他的人也许认为Perelman拒绝菲尔兹奖是傲慢行为，但他的原则令人敬佩。“理想主义的科学家只做科学，心无旁骛，”他说，“他想实践这一理想。现在我不认为他生活在理想的平面上，但是他想那样。”
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