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受拉扭直杆与螺旋杆的Lyapunov稳定性


1.

       受拉扭直杆螺旋线平衡的Greenhill条件:前篇博文 “DNA超螺旋形态的弹性杆模型” 里叙述了受拉扭直杆的 Greenhill 条件。且利用此判据解释了弹性杆超螺旋形态的形成过程,但未加证明。本文先对 Greenhill 条件给出证明,然后讨论满足 Greenhill 条件所形成的螺旋线平衡状态的稳定性。并基于 Lyapunov 稳定性概念判断受拉扭直杆和螺旋杆的平衡稳定性,得出的结论与传统的欧拉载荷理论相悖,讨论产生这种差异的原因。

将杆的两端连线作为 Z 轴,分别作用沿 Z 轴互相平衡的外力 F 和-F、外力矩 M0 和-M0 。过杆上任意点 P作与 Z 轴正交的平面,与 Z 轴交于 O 点。以 O 为原点,建立定坐标系(O-XYZ)

。讨论 P 点处的截面姿态时,将(O-XYZ)

的原点移至 P 点,成为 P 点处的参考坐标系(P-XYZ)

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           (1a)

               

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           (1b)

                                               

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                                                                       (1c)

其中用于投影的(P-xyz) 为 P点处的截面主轴坐标系。

F 为截面的内力主矢,在忽略体积力条件下 F 为常矢量,等于外力 F0。

ωx, ωy 为 P点处杆的曲率,ωz 为扭率,α, β, γ 为 F  矢量相对 (P-xyz) 的方向余弦。利用该文定义的表示截面姿态的欧拉角 ψ, ϑ, φ,将方程组 (1) 中的运动学参数表示为                                

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                            (2)

其中以撇号表示对弧坐标 s 的导数。

方程 (1c) 可直接积分,为简化公式,设杆无初始相对扭率,令 φ’ = 0,得到                                                       

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                                                                 (3)

将 P 点处截面的内力矩 M 投影到 Z 轴,应与外力矩 M0 平衡,满足 Mxα + Myβ + Mzγ = M0,其中 Mx = Aωx, My = Aωy,Mz = Cωz。将式 (2),(3) 代入后得到                                                      

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                                                              (4)

其中 λ = C/A,m = λωz0,l = M0/A。常数 l 和 m 适合于 ϑ 的任意值。将 ϑ = 0 代入式 (4),得到 l = m。从上式解出                                                        

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                                                         (5)

将式 (2), (3), (5)

代入方程 (1a),引入  p = 2F0/A,利用半角公式做三角变换,整理后得到 ϑ 的解耦的微分方程:                                                                

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                                                                (6)

函数 Q(ϑ) 定义为                                           

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                                     (7)

满足方程 Q(ϑ) = 0的常值特解 ϑs 表示杆的平衡状态。其中平凡解 ϑs = 0 或π对应于受拉扭或压扭的直杆状态。此外  ϑs  还存在与螺旋线平衡状态相对应的非平凡解:                                                

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                                                 (8)

其中 ϑs  为螺旋线相对中轴线的倾角。此非平凡解的存在条件为                                                                

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                                                                           (9)

此即直杆失稳转变为螺旋杆的 Greenhill 条件。

对于仅受轴向拉力 F0 单独作用的直杆,令 M0 = 0,即 l = 0,则此条件对拉杆(p > 0)

必自动满足,压杆 (p 0 = 0,即 l = 0,方程 (6) 简化为                 

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                 (10)

利用线性系统稳定性的传统分析方法,令 ϑ = ϑs + x,代入方程 (10),导出扰动量 x 的线性化扰动方程:                                                          

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                                                    (11)

将指数特解 x = x0eλs 代入扰动方程 (6),解出特征值:                                                              

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                                                  (12)

对于轴向受拉直杆,即 p > 0 且 ϑs = 0,或 p s = π, λ 存在正实根,根据 Lyapunov 稳定性定义,表示受拉直杆的平衡不稳定。对于轴向受压直杆,即 p s = 0,或 p > 0且 ϑs = π,则 λ 为纯虚根,表示受压直杆的平衡稳定。

以上得到的受压直杆稳定,而受拉直杆不稳定的结论,与材料力学课程里压杆失稳的欧拉载荷理论相悖。应如何解释?

直杆稳定性的不同结论来源于 Lyapunov 和欧拉对稳定性定义的差异。在压杆的欧拉载荷理论中,压杆只要偏离直杆状态即认为失稳。而 Lyapunov 对稳定性有更精确的定义[1]。不用数学语言,可通俗地叙述为:若系统的平衡状态在 t = 0 的初始时刻受到微小扰动,在随后的 t > 0的其它时刻,受扰后的状态相对原状态的偏差均为零附近的有限量,则平衡状态稳定。若此偏差随时间 t 无限增大,则平衡状态不稳定。将同样的定义移植到空间域:若系统的平衡状态在 s = 0的初始位置受到微小扰动,在弧坐标 s > 0 的其它位置,受扰后的状态相对原状态的偏差均为零附近的有限量,则平衡状态稳定。若此偏差随弧坐标 s 无限增大,则平衡状态不稳定。

将上述稳定性定义用于受压直杆。对于 ϑ = 0 的直杆状态,若在 t = 0 的初始时刻,或在 s = 0 的端部出现 ϑ不同于零的微小扰动,则在 t > 0 的其它时刻,或 s > 0 的其它位置,压杆变形为波浪形曲杆。在可能存在的不同于直杆的所有平衡状态中,ϑ 均为零附近的有限量(图2a),符合 Lyapunov 的稳定性定义。

(a)  压杆失稳后的平衡形态                 (b)  拉杆失稳后的平衡形态图2  拉杆与压杆失稳后的不同平衡形态拉杆情况则不同,若在 t = 0 的初始时刻,或 s = 0 的端部出现 ϑ 不同于零的微小扰动,则在 t > 0 的其它时刻,或 s > 0 的其它位置,拉杆变形为带回环的曲杆。在可能存在的不同于直杆的平衡状态中,ϑ 可增大至最大值 2π 的任意倍数(图2b),符合 Lyapunov 的不稳定性定义。

造成拉杆和压杆失稳后几何形态明显不同的原因,是因为拉力或压力对任意点力矩的符号相反,使变形后杆的曲率符号相反,以至挠性线的凸性相反。

由此可见,无论在时域或是在空间域,按照 Lyapunov 的稳定性定义,均导致受压直杆稳定,受拉直杆不稳定的结论。

3.

       螺旋杆的稳定性:Greenhill 条件是受拉扭杆直杆有螺旋线平衡的存在条件,但所形成的螺旋杆平衡状态是否稳定,必须作补充分析。

本文第一节已导出对 ϑ 解耦的两端受拉扭弹性杆的平衡微分方程 (6),且提供此方程的 3 个常值特解,即平凡解 ϑs1 = 0,  ϑs2 = π 和非平凡解 ϑs3。后者是表征螺旋线平衡的特解,是满足 Q(ϑ) = 0 方程的解:                                                       

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                                                   (13)

函数 Q(ϑ) 的定义见式 (7)。令 ϑ = ϑs3 + x,代入方程 (6),导出扰动量 x 的线性化扰动方程:                                                        

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                                                        (14)

将 Q(ϑ) 对 ϑ 求导,利用半角公式做三角变换,整理后得到                                                          

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                                                 (15)

则扰动方程 (14) 的特征值为                                                    

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                                         (16)

如 ϑs3 的存在条件,即 Greenhill 条件 (9) 已得到满足,则2p/l2 > 1 > cosϑs3,λ 为纯虚根,根据 Lyapunov 的稳定性定义,ϑs3 表征的螺旋线平衡状态为稳定平衡。


1条评论

  • 访客 1楼
    帥到你笑  : 2021-07-24 17:39:04 

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