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利用链式法则求解2017年微积分AB自由问答题6a、b、c | Khan Academy

外来客 • 2026-08-30 10:31:37

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（原标题：Using the chain rule, 2017 Calculus AB free response 6a,b,c | Khan Academy）

📐 核心观点

  • 本题旨在考察微积分中链式法则（Chain Rule）与乘积法则（Product Rule）的综合应用能力。
  • 求解复合函数的导数时，需准确识别内层函数与外层函数，并分别求导后相乘。
  • 处理分段线性函数 $h(x)$ 的导数时，其值等于该点所在直线段的斜率。

🔢 关键事实/论据

  • Part A：函数 $f(x) = \cos(2x) + e^{\sin x}$。求 $f'(\pi)$ 需先对 $f(x)$ 应用链式法则，得到 $f'(x) = -2\sin(2x) + \cos(x)e^{\sin x}$。代入 $\pi$ 后，$\sin(2\pi)=0$，$\cos(\pi)=-1$，$e^{\sin \pi}=1$，最终得出 $f'(\pi) = -1$。
  • Part B：定义 $k(x) = h(f(x))$。根据链式法则，$k'(x) = f'(x)h'(f(x))$。已知 $f'(\pi)=-1$ 且 $f(\pi)=2$，故 $k'(\pi) = -h'(2)$。观察图形可知 $h(x)$ 在 $x=2$ 处的斜率为 $-1/3$，因此 $k'(\pi) = 1/3$。
  • Part C：定义 $M(x) = g(-2x)h(x)$。应用乘积法则与链式法则，$M'(x) = -2g'(-2x)h(x) + g(-2x)h'(x)$。代入 $x=2$ 时，需查表得 $g'(-4)=-1$、$g(-4)=5$，并结合图形得出 $h(2)=-2/3$、$h'(2)=-1/3$。

✅ 结论

  • Part A 的切线斜率为 $-1$。
  • Part B 中函数 $k$ 在 $\pi$ 处的导数值为 $1/3$。
  • Part C 中函数 $M$ 在 $2$ 处的导数值计算过程为 $(-2)(-1)(-2/3) + (5)(-1/3)$，最终结果为 $-3$。

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