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确定微分方程特解的定义域 | Khan Academy

外来客 • 2026-08-30 10:31:53

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（原标题：Determining the domain of particular solution to differential equation | Khan Academy）

📐 核心观点

确定微分方程特解的定义域时，需同时满足函数表达式本身的数学限制以及作为连续解的连通性要求。不能仅依据代数公式计算，必须排除导致解不连续或原方程无定义的点。

🔍 关键事实与论据

  • 基础定义域：对于 $y = \frac{1}{2}\sqrt{x^2 - 9}$，根号内非负要求 $x \le -3$ 或 $x \ge 3$。
  • 连通性限制：特解经过点 $(5, 2)$，由于曲线在 $x=-3$ 和 $x=3$ 处断开，无法跨越至另一分支，故排除 $x \le -3$。
  • 方程定义限制：原微分方程中若 $y=0$ 会导致分母为零。当 $x=3$ 时，$y=0$，使方程无定义，因此必须排除 $x=3$。

✅ 结论

该特解的有效定义域为 $x > 3$，用区间表示为 $(3, +\infty)$。

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