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估算变化率：2011年AP微积分AB自由问答题第2a部分 | Khan Academy

外来客 • 2026-08-30 10:32:11

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（原标题：Estimating rate of change 2011 AP Calculus AB free response 2a | Khan Academy）

📊 核心观点

  • 针对2011年AP微积分AB真题第2a部分，演示如何利用离散数据点估算函数在特定点的瞬时变化率。
  • 当无法获取具体解析式时，通过计算目标时间点附近区间割线的斜率来近似该点的导数值。

📐 关键事实与论据

  • 题目设定茶温 $h(t)$ 为可微函数，时间范围 $0 \le t \le 10$（分钟），温度单位为摄氏度。
  • 表格提供的时间点及对应温度为：$t=0$ 时 66℃；$t=2$ 时 60℃；$t=5$ 时 52℃；$t=9$ 时 44℃；$t=10$ 时 43℃。
  • 目标估算时刻为 $t = 3.5$，该值位于数据点 $t=2$ 和 $t=5$ 之间。
  • 计算过程采用区间 $[2, 5]$ 的平均变化率：分子为温度差 $h(5) - h(2) = 52 - 60 = -8$，分母为时间差 $5 - 2 = 3$。

✅ 结论

  • 在 $t = 3.5$ 分钟时，茶温的变化率约为 $-\frac{8}{3}$ 摄氏度/分钟。
  • 该结果通过展示具体数值代入与斜率公式推导得出，符合题目要求的计算过程展示。

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