斯坦福大学AA203最优控制与基于学习的控制课程 | 2026春季学期 | 第12讲：模型预测控制的

（原标题：Stanford AA203 Optimal and Learning-Based Control | Spring 2026 | Lecture 12: Feasibility of MPC）

🎯 核心概述

模型预测控制（MPC）的理论框架旨在解决非线性系统在约束条件下的持久可行性与闭环稳定性问题，其核心机制依赖于终端集的设计与Lyapunov稳定性理论的结合。通过定义受控不变集作为终端约束，MPC能够确保在每个重规划周期内存在可行解，从而避免优化问题的失效；同时，利用最优代价函数构造辅助函数可证明系统状态收敛至平衡点。在工程实施层面，显式MPC技术通过将控制律预计算为状态空间的多面体划分，实现了离线求解与在线查表的高效执行，显著降低了实时计算负担。此外，针对轨迹跟踪中的稳态误差与控制能耗冲突，引入增量（Delta）控制重构优化变量，有效解决了非零稳态输入需求下的性能振荡问题，标志着MPC从基础理论向复杂工程应用及自适应控制领域的过渡。

📐 可行性与稳定性理论基础

• 持久可行性机制：MPC的持久可行性要求在每个预测时域内，当前状态必须属于可行集，且下一时刻的状态映射后仍保持可行。这一性质通过终端集 $X_F$ 的受控不变性来保证。若 $X_F$ 是受控不变集，即存在控制律使系统状态保持在 $X_F$ 内，则根据递归推导，所有截断可行集均为受控不变集，从而确保MPC闭环在无限时域内的可行性。
• Lyapunov稳定性证明：无需显式求解非线性微分或差分方程，MPC的渐近稳定性可通过构造Lyapunov函数来证明。通常选取MPC的最优代价函数 $J^*(x)$ 作为候选Lyapunov函数。若该函数满足正定性且沿系统轨迹单调递减（即 $J^*(x_{k+1}) < J^*(x_k)$），则平衡点渐近稳定。
• 终端约束的权衡：虽然原点 $\{0\}$ 通常是受控不变集，但将其直接作为终端约束会过度限制可行控制序列的空间，导致控制能耗过高且性能次优。因此，理论设计倾向于寻找比原点更大的受控不变集，以在保持稳定性的同时优化控制性能。
• 核心假设条件：稳定性定理通常基于LQR型二次代价函数、正定的惩罚矩阵、包含原点的约束集以及存在满足Lyapunov-like条件的终端控制律。通过构造“尾部序列+特定控制”的可行解，利用终端集内代价递减的特性，可严格推导出不等式关系以证明闭环稳定性。

⚙️ 参数整定与实施策略

• 稳定系统处理：对于特征值位于单位圆内的稳定系统，终端集 $X_F$ 应取无控制动态下的最大正不变集。此时，终端代价矩阵 $P$ 通过求解Lyapunov方程（令控制输入 $u=0$）确定，确保在无额外控制干预下系统仍能收敛。
• 不稳定系统处理：对于不稳定系统，终端集 $X_F$ 需取LQR闭环动态下的最大正不变集。终端代价矩阵 $P$ 则通过求解离散Riccati方程获得，以反映闭环反馈控制的稳定化效果。
• 性能与稳定性解耦：在参数整定流程中，权重矩阵 $Q$（状态惩罚）和 $R$（控制惩罚）可自由选取以优化特定性能指标，而终端代价矩阵 $P$ 依据稳定性定理自动确定。这种解耦策略实现了MPC算法的自动化整定，将复杂的理论约束转化为可执行的数值计算步骤。
• 工具支持：在计算控制不变集等关键几何组件时，推荐使用MPT3工具箱进行多面体运算与验证，以确保终端集设计的数学严谨性与工程可行性。

📊 显式 MPC 特性与工程权衡

• 离线预计算机制：针对线性二次约束（LQR）问题，显式MPC将最优控制律表示为状态空间多面体划分上的连续分段仿射函数。通过离线求解所有可能的区域边界与控制增益，系统无需在运行时实时求解优化问题。
• 在线执行效率：在线阶段仅需通过查找表确定当前状态所属的区域，并应用对应的增益矩阵 $F_k$ 和偏移量 $G_k$。这种查表机制显著降低了计算延迟，适用于对实时性要求极高的控制场景。
• 安全验证成本对比：在火箭着陆等安全关键场景中，依赖在线优化器需承担高昂的开发与验证成本，包括定制嵌入式环境及排除算法缺陷。显式MPC通过预计算消除了运行时求解器的不确定性，但分区形状往往复杂且单元格众多，导致存储需求增加。
• 现代优化器竞争：随着硬件性能提升，现代实时优化器的速度已大幅提高，使得直接在线求解在某些场景下优于查询巨大的查找表。因此，显式MPC的优势主要体现在极端实时性要求或计算资源受限的嵌入式环境中，而非单纯的计算速度优势。

📉 轨迹跟踪与增量控制重构

• 传统建模缺陷：直接惩罚绝对控制量 $u_k$ 会导致“振荡”现象。当跟踪误差趋近于零时，系统为最小化控制能耗而大幅削减推力（如飞机维持高度需恒定推力），导致误差反弹并引发成本项间的恶性循环，造成非零稳态误差或控制抖动。
• Delta控制重构：为解决上述冲突，优化变量被重新定义为控制增量 $\delta u_k = u_k - u_{k-1}$ 而非绝对值 $u_k$。这种重构使得MPC在完美跟踪状态下表现为零跟踪误差与恒定控制输入（即 $\delta u = 0$）。
• 性能优化效果：增量控制有效解决了非零稳态控制需求下的性能冲突，符合MPC最小化偏差的优化目标。它允许系统在保持精确轨迹跟踪的同时，避免不必要的控制动作变化，从而提升整体控制平滑度与能效。

📚 课程阶段总结与后续展望

• 模型假设转变：本阶段标志着“已知模型”阶段的结束。后续课程将转向模型不完全已知场景，重点探讨如何通过自适应或学习未知部分来维持近最优控制，拓展MPC在不确定环境中的应用边界。
• 实践作业要求：PSET3将深入应用MPC理论，强制使用MPT3工具箱进行多面体运算与不变集计算，旨在强化学生对几何约束处理及数值实现细节的理解。
• 理论发展脉络：MPC理论经历了从无理论指导的经验性应用到基于Lyapunov等工具进行原则性调优的过程。当前重点在于通过终端成本、时域长度 $N$ 及终端约束的协同设计，在保证闭环稳定性的前提下最大化控制性能，为复杂动态系统的实时优化提供坚实的理论基础。