文章导读：林群科技传播者（含科普工作者）自1956年进入中科院后，林群在中国科大当微积分助教，后来又教了三年微积分。二十多年来，林群一直致力于微积分的科普教育工作：画微积分连环画《画中漫游微积分》；出微积分读物《微分方程与三角测量》《微积分快餐》《微积分减肥快跑》；办微积分普及讲座；开微积分博客……大家都亲切地称他为“微积分爷爷”。
越来越多的人喜欢林院士，但微积分对于许多人来说依然像座大山，这也让林群院士不断思考向大众宣传微积分的方式方法。用通俗语言或者用小学学过的知识，一点点去讲述微积分。林群院士还尝试制作微积分卡片，希望普通人可以像念《三字经》一样，先背诵下来再慢慢理解。
微积分提纲（初三到大一）
主页：一本书到一张卡北京珠市口天桥出现微积分的一道题
这题什么意思？微积分的精确描述（含破解）通常需要写一本书. 我们几经努力，变成了一张卡，只含一道算术题. 简言之，微积分变成一道算术.
怎样做到呢？让圆说话：圆有一道算术题
题解：图形左边的公式若不放心，可看图形右边[1]. 由于cosθ能任意接近1（随θ→0），它只能取0.99...（不可能取别的数）. 解毕. 改写：圆有一道算术题
意外且微妙[2]：微积分也就是这道算术题，只是分子与分母的取法有所不同，如下微积分小卡片算术假设每个分数的分子与分母足够接近，相除能任意接近1，必然取
这里的分子们分母们可不相同回到微积分：取分子=小直角三角形的高=微分（命名），分母=相应曲边三角形的高（称小高），使之满足算术假设
（称均匀可微），由算术定理得
9的个数在增（随分割在增）
即微分的积分=小高相加=全高此即微积分原理
设分母>0且9的个数一样（均匀），则有算术定理
由局部分数到整体分数需要均匀只需验证. 先验左边：
同理再验右边一时不理解也不要紧，像念三字经一样，先背诵下来：它们由认得的三个词，分子，分母，0.99...
（即百分之九十九点九九...
）构成.
所以，下决心把圆（初中水平）的算术做好，微积分也就做好了. 所以微积分原理的复杂度跟圆相当. 试问：对于高等数学的复杂度，是否都可以找到一个初等数学的模型，与其“同构”
小卡片还是有点烦（至少含一道算术），但 利>> 弊 不学白不学，见下1.
微积分低成本高收益
实例：2000年人口普查，挨家挨户访问5亿人花了一年. 若根据马尔萨斯定律，利用过去（1990）人口数据，再应用微积分，一个大学生只花五分钟，即推算出2000年的人口. 结果差6.4%，但成本更要紧.
又例：材料科学基本靠微积分来算，过去爱迪生为找灯丝的最优材料，做了几千次实验，一旦有了微积分，应该是几分钟2.
微积分包含一生受益的哲学，或认识世界的方法：微积分，由托尔斯泰在《战争与和平》中，译成一条历史学定律
3.
微积分改变世界：莉莉安・李伯说，麦克斯韦第一个想出了“电磁场里的波”这个概念，再运用微积分推出电磁波存在. 之后赫兹验证了电磁波的存在，时代翻页，出现互联网
克里斯・罗里斯说，若阿基米德“失传遗稿”（有关微积分吧）早牛顿100年被世人发现，那么人类科技进程可能就会提前100年，人类说不定都已经登上了火星注：几百页“书海”为什么可以十分钟潜底？
传统假设微积分的“海水”层层不同（所谓点点可微，太繁琐），简单至上：让我们干脆假设这“海水”层层相同（所谓均匀可微），于是一潜到底. 有志者可做一道题：点点可微
一致可微
副页：一张卡到一本书主页的小卡片就像一个龙头
它放出副产品，将取成高中数学以及随后的理工科大学教材（小卡片先放到高中来学，进大学后便跟理工科的专业学习接轨，不必拖到第二学期再补. 这也是优势）
一、小卡片的四道习题构成理工科教材 预备：前面为突出思想，尽量采用口头表达，放弃数学惯用的符号. 当转入理工科应用题，先要介绍什么是函数. 这时需要数学符号. 高中教材写得很细琐，我不需要那么多. 简单说，函数记为f(x)，最常见的函数有多项式（与幂函数），还有三角函数（与反三角函数），甚至有指数函数（与对数函数，看张景中《用极限的微积分》第9讲）. 习题1. 微积分公式的假设中，已包含导数（即切线斜率，即
）的定义
首先据此定义来计算个别函数的导数，然后根据导数的计算法则（+ - × ÷，复合）以少胜多，扩大战果（张景中语），制作更完整的导数表，如原函数导数
...
...
求导数何用？首先若无导数，哪有微积分公式！此外，由求导数立刻可求曲线山坡的斜率，瞬时速度等. 下面习题3将看到，也可求极值与最值. 下面习题4将用来推导泰勒公式习题2. 反过来用导数表（如后两行），求出圆周长
与圆面积
再由微积分公式得到原函数在两端的值，就是
与
.
习题3. 由微积分公式（不用微分中值公式）
便可推出高中课本用到的结论（当时没有学到微积分公式，所以只知其然，不知其所以然）
仅由定义但不用公式可推出这些结论吗？大数学家也被忽悠了（正好说明大人物不卖书的账）
习题4. 累次应用微积分公式，就是泰勒公式
第1阶:
第2阶:
第3阶:
n+1阶:或
最后的积分余项，当
有界，便出现因子
. 特别得出精确值（不是近似值）
以上将非多项式函数展开为多项式，实乃计算革命，微积分并以此闻名于世
抓大放小：微积分有以上几道应用题就差不多了，足以构成理工科教材（高中也由此取材）
. 无需更多，简单至上二、数学系教材：锦上添花多加一些奢侈品，如极限与连续
处处连续处处不可微特别是微分中值公式（上了天桥）更是锦上添花
不过这些材料易说明、难证明，记得住定理、记不住证明，只需走马看花简单至上：无需更多！
级数好处理
实数也好处理，因为有了如下的华罗庚构造法.
三、实数之母：
测量需要实数. 利用
无限位小数，逐句逐字耍出一般实数
按部就班依序试算联合成不等式最终等式唯一实数的整数部分↕
阿基米德原理选出整数a
小数部分第一位↕
区间分成十份
小数部分第二位↕
区间再分十份
小数部分第三位↕
区间再分十份
找出规律归纳类推至所有位每为
多找一个小数位，等号右边的小数点后就在加9，越来越接近1. 这就是华罗庚构造法
（
，R不能用有限位小数表达）
古今总结古人认为：
（整数及其四则运算，其中整数之比未必是整数，可能是有限或无限循环小数）
任一长度对应
华罗庚耍出推论：单调上升且有上界的数列必有极限四、ε-语言当我们说：数列
任意接近1时，只能是
何必写成
，用
折磨自己？简单至上但各种场合，例如
时，只能是
由
，便是
可见采用
更统一. 但有了
，ε不过跟它“同构”
齐民友译的《普林斯顿数学指南》说，柯西提出ε-讲法当时许多学生认为太难，所以其他教师还是按老方法讲课. 最终，还是柯西的讲法在法国逐渐得到普遍采用. 所以需要多数人认可. 《指南》还说：鲁宾逊的非标准分析曾经激起了一阵活动，从有些地方传来了喝彩，但是，他的方法从没有被广泛接受. 五、小卡片改变了课程顺序传统分五步
前面为底层，最后为顶层如今倒过来
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