阿契塔的音乐实践

数学力学的奠基人阿契塔（约428BC- 约350BC）生活于古希腊塔伦通（现意大利塔兰托），是当时在塔伦通的毕达哥拉斯学派（主要观点世界数本源）领导者，同时他还是塔伦通的军事、政治领导人，他在法律严禁连任的情况下连续7次当选塔伦通的最高领导人，很多学者都认为这说明阿契塔有着非常高的声望（参见力学源头说力学属性）。

阿契塔给人最深刻的是他在许多方面对传统的突破，以至引起柏拉图的不满。例如，他本身是数学家，却对机械发明有浓厚的兴趣（参见阿契塔的机械鸽）；几何学的传统是与天文学结合方为正途，他却将几何服务于机械制造；本文要说的是阿契塔在音乐理论传统上的突破，他认为superparticular ratio是控制音阶中，各音之间频率比的一般比率，并用这种比率构造了他的音阶；当然这也无例外的引起了柏拉图的不满。

阿契塔与传统的这些冲突，让我想到力学的目标就在于实际，生活或工程实际中出现了什么样的问题，力学就需要去解决什么样的问题，那么理论就需要进行适当的调整以适用实际，这就必须突破传统。但另一面，也应该注意到力学也需要严格的数学证明去证明实际问题的一般规律。阿契塔作为数学力学的奠基人，在他的音乐实践中，很好的诠释了这两个方面。本文整理了阿契塔在音乐方面的实践，希望说说力学的这一特点。

1阿契塔之前的音乐成就在古希腊的音乐传统中，毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年～约前500（490）年）最早确定出弦乐器音高与弦长的关系，主要有弦长为1:2时为1个八度音（频率之比为2:1），弦长之比为4:3时为四度音，3:2时为五度音。毕达哥拉斯也因此得到了音乐生律方法的五度相生律（使用比率3:2和2:1），以此可生出我们所熟知的七声音阶中的各个音。

毕达哥拉斯学派的传人菲洛劳斯（circa 480 BC -circa 405 BC）将毕达哥拉斯的比率说应用于音乐，说明音乐是由比率所控制的。例如一个八度音（频率比为2:1的两个音），是由一个四度音（频率比为4:3）和一个五度音（频率比为3:2）的两个音组成。解释一下，这两音组成不是通过加法组成的，而是乘法。这很容易从十二平均律中看出，各音之间是等比关系而非等差关系，八度音由四度音和五度音组成，在数学上可写成2:1=（4:3）（3:2）。

菲洛劳斯继续求解，对于五度音（频率比为3:2）是由1个四度音（频率比为4:3）再加1个全音组成，这样如果设全音的比率为x，就可以写出方程3:2=（4:3）

x解出x，得的频率比为8:9，这是全音的频率之比。而四度音（频率比为4:3）是2个全音和1个半音组成，此时设出半音的频率之比为y，写出方程4:3=（9:8）（9:8）

y解出y，得到频率比为256:243。但是菲洛劳斯认识这是一个令人讨厌的比率，因为毕达哥拉斯说“比率越简单的音听上去越和谐”，这显然不是一个简单的音。

这样，菲洛劳斯建议在弦乐器中，七声音阶各音之间的弦长之比为9:8，9:8，256:243，9:8，9:8，9:8，256:243。（菲洛劳斯说的弦长，而非频率，菲洛劳斯的年代还没有频率的概念，由于弦长与频率的关系互为倒数，两者很容易互相导出）。如果我们构造一个当今利用十二平均律算出的比率，并与菲洛劳斯的比率对照，如下表所示：

这个音阶是西方音乐的毕达哥拉斯传统，倍受柏拉图（Plato，公元前427年―公元前347年）的推崇。但作为菲洛劳斯的学生、数学力学奠基人、同时还是塔伦通（现意大利塔兰托）军事领袖的阿契塔却一方面对菲洛劳斯的研究进行推进，同时又去否定，以构建新的音乐体系。

2阿契塔对传统理论的继承与改进首先，阿契塔充分肯定了菲洛劳斯的比率说，他从八度音比率2:1，五度音比率3:2，四度音比率4:3，全音比率9:8等比率出发，感觉到在音乐中比率(n+1):n是一个非常重要的比率，并将其称为superparticular ratio。按照毕达哥拉斯的建议，高八度音的比率是2:1，那么，高八度音的中间音的比率应该是2:1的比例中项，但是没有整数可以成为2:1的比例中项。不仅八度音的2:1，包括五度音的3:2，四度音的4:3，以及全音的9:8之间，全部找不到整数的比例中项，更进一步，阿契塔用严格的数学证明出superparticular ratio，即(n+1):n，没有比例中项（指整数解）。

阿契塔将数学严格性引入到了毕达哥拉斯和谐论中，和谐与数学是如此的一致。数学中superparticular ratio找不到整数的比例中项，在音乐中整数比例不能分辩出半音间隔。只有双八度音的比例为4:1，才有比例中项2，如4:2=2:1。据说阿契塔的证明后来被欧几里德做了微小修正后用在了Sectio Canonis中，SectioCanonis是欧几里得撰写的一本关于音乐的书，共包括一个引言和二十个关于音乐理论的命题，每个命题都有一个证明和解答。

不过，阿契塔对于音阶的结构又与毕达哥拉斯不同。在古希腊有多种音阶形式，其主要特征表现在四度音阶（即1,2,3,4四音之间的比例结构）的不同。毕达哥拉斯和菲洛劳斯的音阶结构中，四度音阶的比例关系为9:8（全音），9:8（全音），256:243（半音），而阿契塔则使用了不同的四度音阶：9:8，8:7和28:27。经检验，(9:8)(9:8)(256:243)=(9:8)(8:7)(28:27)=(4:3)

，满足四度音的比例关系。

此外，阿契塔还提出了另外两种四度音阶，一种是变化四度音阶(chromatic tetrachord)，比例关系为32 : 27, 243 : 224, 和28 : 27；再一种是小半音四度音阶(enharmonic tetrachord)，比例关系为5 : 4, 36 : 35 和28 : 27。阿契塔致力于利用superparticular ratio去构建音阶，很明显他不同于毕达哥拉斯和菲洛劳斯，这直接引起了与他同时代的柏拉图(Plato，前427年-前347年，古希腊哲学家，苏格拉底的学生和亚里斯多德的老师)

的不满。但为什么阿契塔没有沿用毕达哥拉斯和菲洛劳斯的音阶，而柏拉图又为什么会因阿契塔的音阶而不满呢？

阿契塔除了毕达哥拉斯学派领袖、数学力学奠基人之外，可能与他的另外一个身份塔伦通的政治军事领袖有关。可想而知，音乐在战争中起着十分重要的作用，它不但鼓舞军心，同时音乐还是战斗指令。因此，可以猜想阿契塔的音阶，可能是在特定的战斗需要中提出来的，这和柏拉图单纯的满足精神需求的音乐享受有所不同，此外，柏拉图还强调理性思考，而阿契塔面对战场，他必须时时刻刻注重实际，可能这两样成为了柏拉图对阿契塔音阶不满的主要原因。

3阿契塔对音高本质的解读虽然柏拉图对阿契塔的音阶理论不满意，但他对阿契塔关于声音传播的一般理论比较认可。阿契塔解释了音高的本质实际上是与声音的传播速度相关，现在我们知道声音在空气中的传播速度是固定的，音高依赖于声音的频率。阿契塔错了，但他的这一理论被柏拉图和亚里斯多德采用，在古代声学理论体系中占据着重要的支配作用（来源于：Huffman, Carl, "Archytas"）。

但是从阿契塔的解释来看，阿契塔主要苦于缺乏频率的概念，从而产生了一个错误的解读。阿契塔的这一观点是他从观察敲鼓的声音中得出的，他认为鼓锤敲击大鼓，敲击速度快（其传播速度也快），其产生的音高也高，敲击速度慢（其传播速度也慢），其产生的音高就低。可想而知，在没有频率这一概念时，阿契塔也只能用速度去描述鼓锤敲击频率，而这个速度就很容易与声音在空气中的传播速度混淆。现在我不能确定阿契塔确实是用声音的传播速度来解释音高，还是用鼓锤敲击速度来确定音高？如果没有被讹传，假如阿契塔确实是用声音传播速度来解释音高，那他就错了；如果他的本意是用鼓锤敲击速度来解释音高，那就是正确的，鼓锤的敲击速度本身就是频率的内涵。

这也可以看出，概念对于正确理解事物的重要性，因此在研究任何一个问题时，都必须明确各个概念的真正含义，在缺少概念时也一定要首先进行定义，才能真正的保证正确的理解。无论是学生汇报工作，还是老师在讲课中，对涉及的概念进行充分、完整的解读是十分必要的，否则听众就有可能完全不理解你所讲的内容。对于概念的重视并恰当的解释，无论如何都不过分。

4 结语在历史上，阿契塔作为塔伦通毕达哥拉斯学派的领袖，因此他的出场是自带数学特征的（力学也应该自带数学特征）。在音乐理论中，研究了superparticular ratio（即(n+1):n），将其应用于音乐，并严格证明出该比例不存在整数比例中项，以此说明音阶中八度音、五度音、四度音、两度音之间不能被平均分割（指整数平均）。但他又不满足于传统音阶，发展了另外两种音阶，阿契塔作为塔伦通的军事领袖，很可能是处于战争对音乐的需求，而对音阶进行的调整。在战争中，激发斗志、保持高昂的士气更为重要。这说明了阿契塔作为力学的开创者，力学是要指向生活实践的。因此，力学一方面立足数学，一方面又面向实践。

在同时代的两位伟人柏拉图和阿契塔的身上，我们还可以看到：柏拉图不认可阿契塔的音阶、也不认可阿契塔的数学，但阿契塔却将两者进行了整合，这种思路与数学力学是一致的，要努力将数学变成中实际，在这种思路下，阿契塔成为了数学力学的奠基人。而阿契塔对音高的一个不太准确的观点，却被柏拉图用来去影响后世。我们否定某人的观点时，可能只是我们不理解对方的立场，如果柏拉图愿意站在阿契塔的视角，处于阿契塔相同的处境，可能就不会对阿契塔产生不满。另外，阿契塔关于音高的错误结论或许说明，不犯错误人类文明就不可能获得进步，古之圣贤尚且如此，我们在行事时，又有什么理由担心自己会犯错误而裹足不前呢？

参考资料：[1]

 http://www.crystalinks.com/philolaus.html

[2] 胡彭. 音乐理论的起源:毕达哥拉斯学派的理论(上)[J]. 音乐艺术, 2010(2):75-80. [3] Huffman,Carl, "Archytas", The Stanford Encyclopedia of Philosophy  (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.),URL =

http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/archytas/

[4] 百度百科毕达哥拉斯、菲洛劳斯、阿契塔、四度音阶力学源头说力学属性