割圆之术——祖冲之是如何算圆周率的？

南北朝时期的数学家祖冲之把圆周率算到了7位有效数字，这是中国古代数学的一座高峰。

这个记录保持了数百年才被在撒马尔干工作的穆斯林数学家阿尔-卡西（al-kashi）打破，他获得了16位有效数字。

据说祖冲之采用的是刘徽发明的割圆术，就是用内接正N边形接近圆周，取正N边形的周长为圆周长之近似。这大概也是阿基米德的做法。用现代的观点看，他们考虑的是数列

很显然，这个数列以pi为极限。问题是如何从这个数列的前几项中提取出pi。对我们现代人来讲，标准做法就是Richardson变换。利用sine函数的级数展开公式，我们有

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