历时近7年：证明了Schinzel–Zassenhaus

近日，在数学界享有盛誉的数学四大顶刊之一的《Annals of Mathematics》（数学年刊）的“Articles To appear in forthcoming issues”又更新上线了一篇文章。这篇文章看点颇多，一是该文章历时多年终被接受，二是该成果解决了一个存在近60年的猜想，三是该成果还是独作；虽然该研究的作者不是华人学者，但他与华人数学家还是很有渊源的，我也一直挺看好他的，所以本文我们来简单了解一下：

这篇就是美国加州理工学院的Vesselin Dimitrov（维塞林·迪米特罗夫）独作的题为“The Schinzel–Zassenhaus conjecture（Schinzel–Zassenhaus猜想）”的重磅研究成果。

该研究证明了Schinzel–Zassenhaus猜想，其明确形式如下：若整系数多项式 P(X)∈Z[X]的次数为n且满足P(0)=1，则二者必居其一：要么P(X)是分圆多项式的乘积；要么P(X)至少有一个复根落在圆盘|X|≤2的1/(4n) 次方内。

对任意给定素数p，该研究还在有理数域所有阿贝尔扩张与所有全p-进扩张的复合域Qab · Qt,p上给出该结论的相对版本，并将其用于证明乘法群上关于Qab · Qt,p的相对典范高度下界。

另一项推广结论针对Q[[X]]中的全纯幂级数：若该幂级数无法表示为 p(X)/(X^l−1)^m（其中p(X)∈Q[X]）的形式，则存在一致正高度下界，该下界与奇点总个数成反比。

基于以上结论，该研究得到两项应用：给出缺项多项式中非分圆不可约因子个数的上界；进一步证明某类有理函数存在小临界值。