过去几天，数学界再次因为Navier-Stokes方程而沸腾。但这一次，事情比有人声称解决了千禧年难题更加复杂。一边，是纽约大学青年数学家 Tristan Buckmaster 与 Anthropic 研究员 Levent Alpöge 公布的一系列流体方程爆破结果，并大量借助人工智能完成证明、形式化和整理；另一边，是 OpenAI 几乎同时宣布，其 AI 系统已经找到了解决 Navier-Stokes 问题的新路径，并声称获得了完整证明，论文竟然长达165页。
更引人关注的是，Buckmaster 随后公开质疑 OpenAI 在研究过程中可能接触到了他们尚未公开的研究信息。而就在争议迅速升温之际，菲尔兹奖得主 Terence Tao（陶哲轩） 对 Buckmaster-Alpöge 的工作给出了一个相当重要、但又非常谨慎的评价：这是一个“remarkable achievement”——非凡的成就。 更值得注意的是，Tao 认为目前这套方法向 Navier-Stokes方程推进时，“没有看到明显的根本性障碍”。这句话，或许比任何Navier-Stokes已经被解决的标题都更值得认真理解。此前我们有系列推文谈及AI与数学：
他们究竟证明了什么？
首先必须把一个最容易被媒体标题混淆的问题说清楚：Buckmaster 和 Alpöge 并没有宣布解决 Clay 千禧年问题中的三维不可压缩Navier-Stokes方程。 他们近期的工作，主要针对的是带有光滑外力的流体方程，并证明了若干方程存在有限时间爆破机制。涉及的方程包括：
三维不可压缩 Euler 方程；
Boussinesq 方程；
不可压缩多孔介质（IPM）方程。
这里最重要的关键词是：光滑外力。此前，Luis Martínez-Zoroa 与 Diego Córdoba 等人的工作已经展示了某些流体方程在外力作用下发生爆破的机制。但此前的外力通常需要较低的正则性。Buckmaster 与 Alpöge 推进了一步：他们试图把爆破机制推进到光滑外力的情形。这并不是一个简单的技术修改。在偏微分方程中，“外力足够光滑”意味着你不能简单地把奇异性藏进外力里。真正困难的问题变成了：能否从一个高度正则、光滑的初始状态和光滑外力出发，让方程自身的动力学产生有限时间爆破？ 这正是这项工作的数学意义所在。
最值得关注的，其实是他们发现的“放大机制”
如果把复杂的数学技术暂时放在一边，这组工作的核心思想可以用一个非常直观的图景来理解。想象一个流体系统中同时存在两种尺度：大尺度的背景流动，以及叠加在其上的极细微、高频的小尺度扰动。通常人们会担心，小尺度扰动可能反过来破坏大尺度结构，使整个构造无法持续。而 Buckmaster-Alpöge 的构造试图实现一种非常特殊的动力学：大尺度背景基本保持自身结构，而它不断放大小尺度扰动。 于是，一个很小的高频波纹，在背景流的作用下不断增长。当它最终变得足够强大，开始主导系统之后，新的尺度又被建立起来。然后：下一层更高频的扰动开始增长。 如此反复。尺度越来越小，增长越来越快。如果这个过程能够以足够快的速度级联，就可能在有限时间内完成无限多次尺度转移。最终产生：有限时间爆破。 直观上看，这与凸积分方法中“通过不断引入更细尺度结构来构造复杂解”的思想存在明显的相似性。但这里有一个非常重要的区别：这不是简单地套用传统凸积分。真正困难的地方，在于如何设计一种动力学，让粗尺度结构持续有效地放大小尺度结构，同时控制所有误差，并最终把整个无限级联过程严格封闭起来。这也是为什么论文会非常长。例如，其中 Boussinesq 方程的相关工作，据报道达到数十页。真正困难的不是想出一个漂亮的机制”。而是：把这个机制变成一个经得起逐项检查的数学证明。
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