(一) 有理数的定义
我们把分数定义为有理数。任何一个有理数都可以写成分数r/m（r，m都是整数，且
m≠0）的形式。这里，我们把整数看成分数的特例。任何一个有理数都可以在数轴
上表示，代表了数轴上对应点到原点的距离。有限小数是有理数。无限循环小数可以
描述一个有理数，但无限循环小数不是有理数。给定一个无限循环小数，我们可以求
出对应的有理数。
例如，无限循环小数0.3333...。我们把它看成是整数相除，而除不尽的结果。假设
这是r/m的结果。那么，在计算第一位时，得到商0.3，在下一位得到余数r。
r/m = 0.3 + r/(10m)
(r/m)(0.9) = 0.3
r/m = 1/3 (1)
无限循环小数在某位截断，就得到了它所描述的有理数的不足近似值。在不足近似值
的末位加1就得到它所描述的有理数的盈余近似值。而所描述的有理数就在不足近似
值与盈余近似值之间。
还以无限循环小数0.3333...为例。设不足近似值是在小数点n位后截断，盈余近似值
是不足近似值的末位加1。这样，我们就有不等式
-10^(-n)/3 + 1/3
< r/m="">
< 1/3="" +="">
考虑n的任意性，对上式做不等式分析，只能得出
r/m = 1/3 (2)
所以，分数(整数是分数的特例)是有理数，有限小数是有理数，无限循环小数不是有
理数。无限循环小数能描述一个有理数。无限循环小数是一个有理数的近似值序列。
这有理数在不足近似值和盈余近似值之间。有理数等于数轴上的对应点到原点的距离。
下面我们讨论无理数的定义。为了方便只讨论正无理数的定义，负无理数的定义是类
似的
(二)无限不循环小数定义无理数
边长为1的正方形的斜边长度，根号2，不能写成分数形式，不是有理数。我们把它称
作无理数。如果我们用手开方，得到一个无穷小数
1.41421356....
我们把它看成根号2的近似值序列。在小数点后第n位截断后，我们得到根号2的一个
不足近似值。在不足近似值的末位加1就得到根号2的盈余近似值。无论n等于多少，
根号2在不足近似值和盈余近似值之间。根号2是常数，在数轴上有确定的点。根号2
的值等于所对应的点到原点的距离。
公理规定，任何无限不循环小数都描述一个无理数x。x的值在这个不循环小数所产生
的不足近似值和盈余近似值之间。x是常数，其值等于所对应的点到原点的距离。
这也是实数的小数定义的完备性。
定义减法：设x,y不都是有理数，x-y在(x小数-y小数)的不足近似值和盈余近似值之
间。
(三) 有理基本列定义无理数
定义1：Xn是有理数列，对任意给定的有理e>
0，存在N，使得对任何m>
N，n>
N，都有
|Xm-Xn|定义2：对任何基本列Xn，Yn，如果任给一个e>
0，e也是有理数，存在N，使得对任何
n>
N，都有|Xn-Yn|把所有相互等价的基本列归成一类。把它称作等价类。
很显然，有的等价类中有常数数列。能否证明，有的等价类中没有常数数列呢？还是
以根号2为例。如果我们用手开方，得到根号2的一个不足近似值序列,xn
1.4,1.41,1.414,1.4142... (3)
及盈余近似值序列Xn
1.5,1.42,1.415,1.4143... (4)
这是两个基本列，且彼此等价。如果包含这两个基本列的等价类中有常数数列，假设
是c,c,c,..., 那么根据定义1,任给一个e>
0，e也是有理数，存在N，使得对任何n>
N，
都有
|xn-c|
从根号2的近似值序列得出，任给一个有理数e>
0，存在N，使得对任何n>
N，都有
|xn-根号2|
(5)和(6)能够推出c=根号2的矛盾。所以，没有常数数列的等价类是存在的。
在包含序列(3)和(4)的等价类中，任取一个序列Xn，都是根号2的近似值序列。而且
任给一个有理数e>
0，存在N，使得对任何n>
N，都有
|Xn-根号2|
可以证明任何等价类中都有单调减少基本列与单调增加基本列，且单调减少基本列大
于单调增加基本列。
公理规定，对任何没有常数数列的等价类，都存在一个无理数y,使得等价类中的任何
基本列都是y的近似值序列。近似到什么成度呢？假设Yn是单调减少序列，yn是单调
增加序列。那么y的值永远在yn和Yn之间。从而有
yn
< y="">
< yn="">
根据yn,Yn的等价性得出，任给一个有理数e>
0，存在N，使得对任何n>
N，都有
|Yn-y|
y是个静态的常数，其值等于所对应的点到原点的距离。这也是实数的基本列定义的完
备性。
两个无理数的差定义为对应近似等价类的差所描述的无理数。
需要指出的是，我们的有理基本列的无理定义与柯西的康托的都不相同。柯西将实数
定义为基本列的极限，我们认为不妥。因为极限是以某一对象事先存在为前提的。柯
西的定义隐含逻辑循环。康托把没有常数数列的等价类定义为无理数。我们认为，等价
类只是无理数的近似值序列。还需要指出，(9)的结论是公理添加无理数的结果，不是
基本列定义自然推出的结果。
(四)有理分划定义无理数
如果A，B是两个有理数集，B中的任何一数大于A中的所有数，A与B的交集是空集，A
与B的并集是全体有理数，那么，我们说，A与B构成一个有理分划。B称作上组，A称作
下组。
还是以根号2为例。把所有平方大于2的正有理数归为B组，把所有平方小于2的正有理
数归为A组。这样我们得到一个有理分划A|B。还可以很容易的证明，下组没有最大数，
上组没有最小数。很明显根号2大于A组中的所有数，小于B组中的所有数。换句话说，
A，B之间夹一无理数根号2。也就是说，A，B之间有空隙。
那么，我们能证明所有的下组没有最大数，上组没有最小数的有理分划都有空隙吗？
不能！
公理规定，任何下组没有最大数，上组没有最小数的有理分划，都夹一个无理数。上
组中的任何有理数都是这个无理数的上近似值，下组中的任何有理数都是这个无理数
的下近似值。上组中的较小数是较好近似值，下组中的较大数是较好近似值。这样定
义的无理数是个静态的常数，其值等于所对应的点到原点的距离。
这也是实数的有理分划定义的完备性。
两个无理数的差定义为对应上组差和对应下组差构成的分划所描述的无理数。
需要指出的是，在没有无理数的某种预先定义情况下，我们不能证明所有的下组没有
最大数，上组没有最小数的有理分划都有空隙。
(五)无理数定义的等价性。
上述的有理数定义，无限不循环小数无理数定义，有理基本列无理数定义与传统的定
义略有不同。按照这样的定义，无限不循环小数无理数定义，有理基本列无理数定义，
有理分划无理数定义将产生相同的无理数集。
那么哪个定义最好呢？我们认为，无限不循环小数的无理数定义最好。这是因为无限
不循环小数定义用的公理最直观，叙述最简洁，顺序建立最自然，推导实数性质最容
易，有了这个定义，可以证明，任何基本列都收敛，所有的下组没有最大数，上组没
有最小数的有理分划都有空隙。
把基本列等价类本身定义为无理数，相当于把无限不循环小数本身定义为无理数，相
当于把下组没有最大数，上组没有最小数的有理分划本身定义为无理数。
把基本列等价类中的单调增加列单调减少列所夹的数定义为无理数，等价于把无限不
循环小数不足近似值盈余近似值所夹的数定义为无理数，等价于把下组没有最大数，
上组没有最小数的有理分划所夹的数定义为无理数。
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