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证明：等腰梯形的底角相等

外来客 • 2026-08-30 15:22:21

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（原标题：Proof: Base angles of isosceles trapezoids）

📐 核心观点

  • 等腰梯形的同一底边上的两个内角（底角）度数相等。
  • 该性质与等腰三角形的底角相等特性一致，可通过几何证明确立。
  • 基于底角相等的结论，可进一步推导出等腰梯形对角线所对的对角互补这一几何特征。

🔍 关键事实/论据

  • 相似三角形构造：延长等腰梯形的两腰相交于点 E，形成大三角形 EAB 和小三角形 ECD。由于底边平行，对应角相等，且顶角公共，故 $\triangle ECD \sim \triangle EBA$（角角相似）。
  • 代数推导过程：利用相似三角形对应边成比例的性质，得出 $EC/EB = ED/EA$。将 $EB$ 表示为 $EC+CB$，$EA$ 表示为 $ED+DA$，交叉相乘并展开得到 $ED \cdot EC + ED \cdot CB = EC \cdot ED + EC \cdot DA$。
  • 等腰性质确认：消去等式两边的 $ED \cdot EC$ 项，剩余 $ED \cdot CB = EC \cdot DA$。因等腰梯形两腰相等（$CB=DA$），两边同除以该长度，得出 $ED = EC$。
  • 角度传递逻辑：由 $ED=EC$ 可知 $\triangle ECD$ 为等腰三角形，其底角 $\angle EDC$ 与 $\angle ECD$ 相等。根据平行线性质（同位角），梯形内部的底角 $\angle ADC$ 等于 $\angle EDC$，$\angle BCD$ 等于 $\angle ECD$，从而证明梯形两底角相等。

✅ 结论

  • 等腰梯形的两个底角具有相同的度数。
  • 若设其中一个底角为 $x$ 度，则其相邻的内角（由平行线同旁内角互补性质决定）为 $180 - x$ 度。
  • 在等腰梯形中，沿对角线方向相对的两个角（即一组对角的邻角组合或特定对角关系）呈现互补特性，具体表现为底角与另一侧的顶角之和为 180 度。

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