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证明：梯形中位线长度

外来客 • 2026-08-30 15:22:27

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（原标题：Proof: Trapezoid midsegment length）

📐 核心观点

  • 本视频旨在证明梯形中位线定理，即连接梯形两腰中点的线段长度等于上底与下底长度之和的一半。
  • 证明过程通过构造辅助线和全等三角形，将梯形问题转化为相似三角形的比例关系进行推导。

🔍 关键事实/论据

  • 定义前提：梯形是具有一组平行边（称为底）的四边形；中位线连接两非平行边（腰）的中点。
  • 辅助构造：延长梯形的上底和一条对角线，使其相交于新点 G，从而构造出两个新的三角形 CDF 和 GAF。
  • 全等推导：利用对顶角相等、平行线形成的内错角相等以及中点性质（FA=DF），证明三角形 CDF 与三角形 GAF 全等。
  • 线段转换：由全等关系得出对应边相等，即 CD = AG，进而推导出新构造的长线段 BG 的长度等于原梯形两底之和（CD + BA）。
  • 相似判定：利用 SAS（边角边）相似准则，证明小三角形 CEF 与大三角形 CBG 相似。依据是 CE/CB = 1/2 且 CF/CG = 1/2，且夹角共用。
  • 比例计算：根据相似三角形对应边成比例的性质，得出 EF/BG = 1/2。

✅ 结论

  • 将 BG 替换为 CD + BA，得到最终公式：EF = (CD + BA) / 2。
  • 这证实了梯形中位线的长度确实等于两底长度的平均值。

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