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从表格构建指数函数 | AP®︎/大学预备微积分 | Khan Academy

外来客 • 2026-08-30 15:22:51

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（原标题：Constructing exponential functions from tables | AP®︎/College Precalculus | Khan Academy）

📐 核心观点

  • 当指数函数表格数据不满足相邻项直接成等比关系时，表明存在非零常数偏移量 $k$。
  • 此类函数的通用形式为 $d(x) = a \cdot r^x + k$，其中 $r$ 为公比，$a$ 和 $k$ 为待定系数。
  • 求解策略是先通过计算相邻项差值（$\Delta y$）的比值确定公比 $r$，再利用已知点建立方程组解出 $a$ 和 $k$。

🔢 关键事实与论据

  • 排除简单指数模型：直接比较表格中 $x=-3$ 到 $x=-2$ 的值（从 -33 变至 -129），比值并非固定常数，证明 $k \neq 0$。
  • 确定公比 $r$：计算相邻 $y$ 值的差值序列为 $1536, 384, 96, 24$。该序列构成等比数列，公比为 $\frac{1}{4}$（即每次除以 4），故 $r = \frac{1}{4}$。
  • 建立方程组：选取 $x=-1$ 和 $x=-2$ 两个点代入模型：
  • 当 $x=-1$，$d(-1) = -9$，得方程 $4a + k = -9$（因 $(\frac{1}{4})^{-1}=4$）。
  • 当 $x=-2$，$d(-2) = -33$，得方程 $16a + k = -33$（因 $(\frac{1}{4})^{-2}=16$）。
  • 求解系数：两式相减消去 $k$，得 $-12a = 24$，解得 $a = -2$。代回第一式求得 $k = -1$。

✅ 结论

  • 该表格对应的指数函数解析式为 $d(x) = -2 \cdot (\frac{1}{4})^x - 1$。
  • 验证逻辑表明，通过差值法确定公比是处理带偏移量指数函数的有效步骤，随后需至少两个数据点联立求解剩余参数。

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